p(Âi^A,-v...+ A

3° Doublets. — - Un douhlet est constitué par deux sources infiniment voisines d'intensités égales et de signes contraires : il est analogue à un aimant élémentaire (n° 570).

750. Quelques problèmes sur les sources. — Soit un vase entiè-

3jS EQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX^ CONTINUS.

renienl clos limité par une surface S : ce vase est entièrement rempli par un liquide animé d'un mouvement irrotationnel acjcliquc; on demande de trouver le mouvement, sachant qu'il y a n sources données O,, Oo, .. ., 0,i d'intensités A,, Ao, . . ., A„ dans le vase.

Il s'agit de trouver le potentiel '-5 des vitesses : ce potentiel doit être, dans le vase, une fonction de la forme

6 étant assujettie à être uniforme et finie dans le vase et à vérifier l'équation de Laplace A'!> = o. C'est cette fonction qui est l'inconnue du problème.

Tout d'abord, pour que ce problème soit possible, il (aut que la somme A, -h Ao + . . . + A„ des intensités des sources soit nulle : en eîTet, le vase étant clos, le flux total à travers la surface S est nul.

Cette condition étant supposée remplie, la vitesse de chaque élément fluide en conlael avec la paroi S doit être tangente à la paroi : on a donc, en chaque point de la surface S,

dn Oi", d'après l'expression (74)» o^" ^

^cp 1 /Al ^ ^\ f^

dn dn \ i\ r-i ' ' " r,, ) dn

Donc, la fonction '\i doit, sur la surface S, vérifier la condition

dii d /Al A-2 \„\

^^'^ Thi = d7i\y,'^7:^---^77J

En résumé, la fonction inconnue 'i> est déterminée par les propriété suivantes : elle est harmonique, uniforme et finie dans la surface S et, en chaque point de S, sa dérivée normale prend une valeur donnée (^S). Ces conditions déterminent 'j/, aune constante près, comme nous l'avons vu dans l'élude des fonctions harmoniques (n" 594).

On peut faire cfTectivement le calcul de la fonction 'l quand la surface donnée S est un parallélépipède rectangle, en introduisant

CIIAPlTRt: XXXIV. — DYNAMIQUE DES FLUIDES PAUFAITS. 879

une fonction liax'nioniqiie analogue à la fonction Z employée pour la décomposition des fonctions elliptiques en éléments simples (voyez yicta mathematlca, t. VIII, p. 205).

Lorsque l'une des dimensions du parallélépiprde devient infinie, on a la solution du problème pour un prisme rectangle indéfini dans un sens : des cas particuliers de ce dernier problème ont été résolus par MM. Boussinesq, de Saint -Venant et Flamant [Comptes rendus de V Académie des Sciences de Paiis, 1870).

Ces solutions, qu'il serait trop long d'exposer ici, reposent sur le principe des images que nous indiquerons sommairement, en adoptant le mode d'exposition de M. Basset.

751. Principe des images. — Supposons que, dans un liquide indéfini, il existe deux portions distinctes L, et Lo du liquide, animées chacune d'un mouvement propre. Supposons, en outre, qu'on puisse tracer dans le lluide une surface continue fixe S, séparant complètement l'une de l'autre les deux portions J,, et Lo, de telle façon que, dans les mouvements de ces deux portions, aucun élément de L, ne traverse S, ni aucun élément de Lo. On dit alors, d'après Sir William Thomson (Lord Kelvin), que le mouvement de Lo est V image du mouvement de L| par rapport à la surface S, et inversement.

Dans ces conditions, on pourrait, sans changer le mouvement de Li, supprimer le liquide Lo, à condition de réaliser matériellement la surface S sous forme de cloison. De même, on pourrait, sans changer le mouvement de Lo, supprimer L| en réalisant S sous forme de cloison.

Premier exemple : Image d\ine source par rapport à un plan. — Soient, dans un liquide indéfini dans tous les sens et animé d'un mouvement permanent, deux sources O, et Oo de même intensité A, le mouvement étant nul à l'infini. Dans ces conditions, en appelant /•, et /'o les distances d'un point P aux deux sources, le mouvement considéré est un mouvement irrotationnel dans lequel le potentiel des vitesses est de la forme

? = 'r- '^{oc,y, z),

où '\i est une fonction harmonique uniforme et finie dans tout

38o ÉQLILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

l'espace, telle que -r^, -r-, ~ soient nuls à l'infini. Cette fonction ^ ' ^ ôx oy oz

est alors une constante d'après les théorèmes généraux sur les

Fip[. 33i .

fonctions harmoniques (n" 600), et l'on peut prendre, en laissant de côté cette constante,

Par le milieu O de 0,02, menons un plan S perpendiculaire à OiOo : nous allons montrer que le ilux à travers un élément

quelconque de S est nul, c'est-à-dire que -~- est nul tout le long

de S. En effet, soient P un point de S ; P, et P2 deux points placés sur la perpendiculaire en P à S, symétriquement par rapport à ce plan. La dérivée de o prise normalement à S est la limite du rapport

C52 — «pi

quand les points P( et Po tendent l'un vers l'autre, '-3( et o^ étant les valeurs de C5 en ces points. Mais, par raison de symétrie, cpo^ '-ûi, et la limite est nulle.

Le plan S divise alors le liquide en deux parties, qui se meuvent indépendamment l'une de l'autre : l'un des mouvements est l'image de l'autre par rapport au plan S. On pourrait supprimer la partie du li(|uide placée d'un côté du plan, en remplaçant ce plan par une cloison; le mouvement de l'autre partie ne serait pas altéré. On aurait ainsi la solution de ce problème : Trouver le moiwemeiil irroLationnel d'un liquide indéfini remplissant tout l'espace situé dun coté dUin plan fixe S^ sachant que le