CHAPITRE XXXIV. — DYNAMIQVE DES FLUIDES PARFAITS. 38l

mom^ement est nul et V infini, etquil y a une source dans le liquide.

Deuxième exemple : Écoulement permanent irrotationnel d'un liquide par le fond d'un vase indéfini limité par deux plans parallèles. — Soient trois axes rectangulaires, l'axe O:; étant vertical ascendant; considérons un vase indéfini, limité par les trois plans :r = «, x = — «, ^ = o ; le fond de ce vase est constitué par le plan xOy\ imaginons qu'il soit percé d'une ouverture circulaire infiniment petite placée en O. Supposons ce vase plein d'un liquide pesant qui part du repos pour s'écouler par cette ouverture : le mouvement sera irrolalionnel ; supposons en outre le régime permanent établi. Nous admettrons que l'ouverture O constitue pour le liquide une source négative.

Dès lors, le potentiel '-p \x,y,z) des vitesses doit vérifier les conditions suivantes :

i" 11 doit être dans le vase de la forme

r A étant une constante positive, /• la distance du point x,y,z au point O, et '\ une fonction harmonique finie et uniforme dans le vase ;

2" Les dérivées partielles ^, ^,, -| doivent être nulles à l'in-

flni dans le vase, car le mouvement j est nul ;

Z^ Tout le long des parois, la dérivée ^ normale aux parois

doit être nulle; par conséquent, sur les parois latérales x = ±a,

^ doit être nul et, sur le fond, ^ doit être nul ; cela revient à dire

que les surfaces 'j; = const. doivent couper ortliogonalement les

parois.

Pour obtenir une fonction -i remplissant toutes ces conditions, prenons les symétriques du point O par rapport aux parois, puis les symétriques de ces symétriques, etc., comme si le point O était un point lumineux et les parois des miroirs. Tous ces symétriques sont placés sur Ox et ont pour abscisses dz2a, =fc4«, •••' ±-'i.na, ..., n étant un entier positif quelconque.

)82 équilibra: et mouvement des milieux continus. Prenons alors la fonction définie parla série

\/( X — 2 /Kl y- -i- y- -r- :■'-

V'f .r -f- o.na)--hr'-— z-

qiiiest convergente, car, ponr n infiniment grand, le terme général est de Tordre de — , • Cette fonction remi:)lit toutes les con- />'- '■

ditions :

1° Les termes nui suivent '— forment une fonction •!> harmo- 1 ^

nique uniforme, car chaque terme de la série étant à une constante près l'inverse de la distance du point ce. y, '■ à un point fixe, est une fonction harmonique; celte fonction 'l est finie dans le vase ;

2*^ Les dérivées partielles de 's sont évidemment nulles à 1 infini dans le vase ;

3" On a pour — ^ une série qu'on |)eut écrire

v = -=c \(jr—A-u( )^--^y'-^ z-\pour X = a, cette série devient

'^ (av— I )

somme qui est évidemment nulle, car les termes correspondant à deux valeurs égales et de signes contraires de l'entier impair

:>.v — I se détruisent; on vérifie de même que — ^ s'annule pour

1 Ox '

Enfin, "^ est nul pour ; = o en tous les points distincts du

])oint O et de ses images, car en écrivant cette dérivée on voit (juc chaque terme contient z en facteur.

La fonction C5 étant trouvée, la pression est donnée par la première des équations (- 1).