CHAPITRE XXXIV. — DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS

Remarque. — Si clans le développement (76) on ne prenait pas soin (le retrancher de chaque terme de la forme

v/( a" ± 9. na )'^ -h >'2 -i- ô'^

la quantité ■, la série serait divergente.

•ma *^

C'est par un procédé analogue, emprunté à la démonstration classique du théorème de M. Mittag-Leffler, que l'on arrive à rendre convergentes les séries auxquelles conduit la méthode des images, dans des problèmes analogues au précédent relatifs à des vases ayant la forme de parallélépipèdes rectangles {Acta inathematica, t. VIII, p. 265). On trouvera des indications sur les développements en séries trigonométriques des fonctions auxquelles on est ainsi conduit dans un lAIémoire de M. Appell {Journal de Mathétnatiques pures et appliquées de M. Jordan, 1887 premier fascicule), et dans un Mémoire de M. Lereh (Jbid., fasc. IV, 1899)

EXERCICES

1. Mouvement d'un liquide symétrique autour d'un axe; fonction de Stokes. — Soit un liquide animé d'un mouvement symétrique autour de Oz. Appelons /■, 0, z les coordonnées semi-polaires d'un élément : la vitesse W de cet élément est, par hypothèse, dans un plan passant par l'axe 0^; et ne dépend pas de 6. Appelons s la composante de W suivant le rayon vecteur, et (v sa composante suivant O^ : s et (v sont fonctions de z e|, /•; les lignes de courant sont dans des plans passant par O^ et, dans l'un de ces plans ^Or, leur équation dilTérentielIe est

dz dr w s

(i) (V (//• — s dz — <).

D'autre part, l'équation de continuité est (n" 74U)

, . d{rs) ôiv

^ ' ()r Oz

Cette équation montre (|ue l'équation (i) adnieL le facteur intégrant /•, et l'on peut écrire

/■ ( iv dr — s dz) = d-\i,

'^ étant une fonction de z et /•. On a alors

nv = — ^ 1 rs = -^ :

or ()z

^ s'appelle la fonction de Stokes.

S'il existe un potentiel des vitesses ç, ce potentiel est une fonction de z et /•

384 ÉQllLIBRE ET MOLVEMENT DES MILIEUX CONTIMS.

seuls et l'on a aussi

dz or

l'équation de continuité est alors

et la fonction -^ vérifie l'équation

d /i dé\ \ d-'b dr\r dr J ~^ r dz-

2. Équations du mouvement des fluides déduites du principe d'Hamilton. — Employons les variables de Lagrange et appelons U la fonction des forces. D'après le principe d'Hamilton (Tome II), considérons l'intégrale quadruple

étendue à tous les éléments du liquide à l'instant t, puis aux valeurs de t de l'instanl i„ à l'instant t^, les positions initiales et finales du système étant données. Cette intégrale, sous la condition de continuité

doit être un minimum pour le mouvement réel comparé aux mouvements infiniment voisins.

On trouvera le calcul détaillé dans Basset, A Treatise on hydrodynamcis, t. I, p. 32.