CHAPITRE XXIX. — ATTRACTION. POTENTIEL

5,, 5o, . . ., Sp et la deuxième au volume \. Mais on a

AU = o, donc rintégrale triple est nulle et l'on peut écrire

en décomposant l'intégrale double en ses diverses parties. Dans cette formule, les dérivées de U sont prises suivant les normales extérieures au volume \ : sur chaque surface sphérique la dérivée est donc prise vers l'intérieur de la sphère. Calculons l'intégrale

étendue à l'aire de la sphère 5). On peut écrire

où U| est une fonction continue dans 5, , car c'est le potentiel des masses /??27 '''.)■' •••? '"«? dont aucune n'est dans la sphère 5|. On a alors

La deuxitme intégrale est nulle d'après le premier cas examiné, car c'est le flux de force à travers s^ provenant des masses wîo, /;?3, . . ., mm toutes extérieures à 5,. Quant à la première, comme la normale intérieure à la sphère en un point P coïncide avec le ravon P/??, . on a, en appelant ;■) la distance du point P au centre m, et /-, + <://•, la distance au centre du point P' infiniment voisin de P sur la normale P/^i|,

dn = PP' = —dri,

n jx = "11.

du dri r\

Donc

car, sur la sphère s^ la distance /'i est constante et la somme des éléments dd est Taire de la sphère 4"/r i-es autres intégrales

figurant dans l'équation (4) sont de même égales à 4~/"2- 47:/?? y, 5 et cette équation donne finalement

, rfa' = — 4 ~ ( '" 1 -^ '" ' -t- • • • ^ "' P ) = — 4 ~ M', s '^'^

M' désignant la somme des masses attirantes intérieures à S. Le théorème est ainsi démontré.