CHAPITRE XXXV. — THÉORIE DES TOURBILLONS. 4l

prise le long d'une ligne Lo non récluclible à un point, est nulle; ou, ce qui revient au même, que o est uniforme dans le vase. On peut alors conclure, comme précédemment, que o est constant. Nous avons, dans le cas d'un vase doublement connexe, appelé module relatif à la classe des lignes fermées L, la valeur constante de la circulation

u dx -+- V dy -f- w dz,

le long d'une de ces lignes. La condition que l'intégrale (22) soit nulle peut donc être remplacée par celle-ci : les deux solutions ?f,, ç^^ Wi et Wo, To, (Vo doivent, pour être identiques, donner la même valeur pour le module relatif aux lignes Lo.

D'une façon générale, si le vase n'est pas simplement connexe, il faudra, pour déterminer entièrement ?/, t', (V, connaître les modules relatifs aux diverses classes de courbes fermées qu'on peut tracer dans le vase (n°' 763-764).

Nous étudierons, dans ce paragraphe, le cas simple d'un liquide indéfini.

767. Cas d'un liquide indéfini. — Nous allons montrer comment, pour un liquide indéfini dans tous les sens, on peut calculer u, r, w connaissant E, ri, 'C,, avec cette hypothèse que m, v, w et i, r,, ^ sont nuls à l'infini. Le liquide est alors divisé en anneaux tourbillons, dans lesquels \, r., ^ sont différents de zéro, en mouvement dans une masse liquide sans rotation dans laquelle ^, T,, s sont nuls.

Tout d'abord, les fonctions inconnues u, v, w devant vérifier la condition de continuité (19), on peut mettre ces quantités sous la forme (n*» 543)

11 reste à déterminer P, Q, R par les conditions (18). Or on a

ôy

"~ ôz

()R âx

il4 ÉQL'I LIBRE ET .MOUVEMENT DES M I 1. 1 E l X CONTINUS.

identiquement

Ow __0v rj2Q (j2Fl O'-P O'-P

dy Oz Ox Oy Ox Oz Oy- Oz-

, OiP

ce qii on peut écrire, en ajoutant et retranchant — -'

0 fdP Ox \ Ox

^dO

0P.\ ' Oz)

Ox-

oy^

Oz-

Désignons, pour abréger, par A[ la quantité

,, op oq .;r

dx dy dz

nous aurons

Oiv Ov OM dy i)z U.r

de même

Ou div OM

dz Ox Oy

Ov Ou OM Ox Oy Oz

Les équations (i8) seront donc satisfaites si l'on détermine P, Q, R de façon à vérifier les quatre relations

(i5) AP= — 9.Ï, AQ^— ar,, AR= — '2!:,

En se reportant à la théorie du potentiel newtonien (n° 581), on obtient facilement des fonctions P, Q, R vérifiant les trois relations (ao). Nous avons vu, en effet, que le potentiel newtonien U d'une masse continue vérifie, en cbaque point x^y, z de l'espace,

ré([uation de Poisson

AU = — .1-p,

0 étant la densité de l;i matière attirante au |)oint considéré, de telle façon que le deuxième membre est nul, si le point considéré est hors de la masse attirante. D'après cela, imaginons qu'à un instant quelconque t, les anneaux de tourbillon soient remplis d'une matière attirante continue dont la densité o en un point a;',

y', z' soit égale à 7^;', la notation ç' désignant la valeur

ciiAPiTRK XX \v, — rmioiiiii: des toi rbi i-lons. ^\\5

que prend au point considéré la projection du tourbillon sur O^. Si l'on pose ensuite

(h = dx' tiy (lz.\

de façon que ch soit un élément de volume d'un des anneaux de tourbillon, le potentiel de cette masse attirante fictive, au points, y, z, a pour expression

rintégrale étant étendue au volume V occupé par les anneaux de tourbillon. Ce potentiel P est une fonction r, j', z qui vérifie, dans tout l'espace, la relation