SIMPLE ET DOUBLE COUCHE
560. Potentiel d'une masse continue. — Les théorèmes que nous venons de démontrer, relativement au champ de forces créé par l'attraction de points matériels isolés, s'étendent, comme l'a montré Lagrange, au champ de forces créé par l'attraction de masses continues. Il suffit, pour cela, de regarder une masse continue comme formée d'un nomhre infiniment grand de masses infiniment petites. Le potentiel
se trouve alors remplacé par une intégrale définie.
Divisons la masse continue en éléments de masse infiniment petits dm : soient <7, h, c les coordonnées d'un de ces éléments, r sa distance au point Pi^x, y., z),
r = ^{x — a )- ^ { y — ôy^ ^ ( z — c)^.
L'attraction newlonienne de l'élément dm sur l'unité de masse placée au point P a pour projections
— f — dm . — f — dm, — f "- — -— dm .
La résultante K de ces attractions a donc pour projections
(K) 'X = -fJy^.^^dm,
\ Z=-fJ^~dm-
CIIAPITRK X\IX. — ATTRACTION. POTENTIEL. jj
les intégrales étant étendues à tous les éléments attirants dm. Considérons alors la fonction de .r, y, z
la règle delà différentialion sous le signe / , provisoirement admise, donne immédiatement
La force K du champ dérive donc de la fonction /U.
De même, l'attraction électrique ou magnétique d'une masse électrique ou magnétique continue, sur un point P de masse unité, dérive de la fonction — AU.
561. Surfaces de niveau. Lignes et tubes de forces. Flux de force. — Les définitions et les propriétés données plus haut pour les surfaces de niveau, les lignes et tubes de forces, le flux de force, s'étendent d'elles-mêmes au champ de forces créé par l'attraction d'une masse continue.
562. Équation de Laplace. — jNous avons vu que le potentiel U d'un sjstème de points isolés est une fonction des coordonnées a.', y, z du point attiré P vérifiant l'équation de Laplace
AU = o
tant que le point P ne coïncide pas avec un des points attirants. On peut donc prévoir que le potentiel d'une masse continue vérifiera également l'équation de Laplace, en tous les points de l'espace situés en dehors des masses attirantes. Pour le vérifier, reprenons l'expression
'dm
du potentiel, Fintégrale étant étendue à tous les éléments de la masse attirante. Dans cette intégrale
x^y, z désignant les coordonnées du point attiré et «, ^, c celles de l'élément attirant dm; dans l'intégration x., y, z sont donc
regardés comme constants et les coordonnées «, 6, c de dm varient seules; d'ailleurs les limites de l'intégjation sont indéjsendantes de x^j^ z.
Si le point x^ t, z est extérieur à la masse attirante, /■ ne s'annule pas dans l'intégrale, tous les éléments de l'intégrale restent finis et l'on peut appliquer, sans objection, la règle de la diffé-
rentiation sous le signe / . On a alors
dx- J ôx-
Calculant de même les dérivées secondes par rapport à x etj'-, on a
AU = f \-din, J '•
et comme A - = o (n° 008), on a
AU = o.
L'équation de Laplace est ainsi démontrée. Elle exprime que la verge railles.
divergence de l'attraction est nulle en dehors des masses atti-
363. Lignes, surfaces et volumes attirants. —Les masses continues dont on étudie l'attraction peuvent former une ligne, une surface ou un volume.
En Mécanique céleste, quand on veut étudier les attractions mutuelles des astres, ou est conduit à des attractions de volumes. Dans la théorie de l'électricité, on est conduit à des attractions de surfaces, car la matière attirante est alors répartie sur la surface des corps conducteurs. L'attraction d'une ligne n'a pas de signification physique directe, mais on ramène, dans certains cas, l'attraction d'un volume ou d'une surface à celle d'une ligne.
o64. Potentiel d'une ligne. — Soient ds un élément de longueur
de la ligne, dm sa masse; le rapport -7- = p s'appelle û?e^/25«'/p
linéaire de la ligne attirante. Cette densité peut varier d'un point de la ligne à l'autre ; quand elle est constante, la ligne est homo-
