AP
l étant la valeur du tourbillon au point x, y, z. On a ainsi formé une fonction P vérifiant la première des conditions (aa). On obtiendra de même des fonctions Q et R. satisfaisant aux deux autres conditions (ao) en prenant
ces intégrales étant étendues au volume V occupé par les anneaux de tourbillon, et V, s' désignant les valeurs de -/i et ^ dans l'élément ch de coordonnées x',y\ z' .
Il reste à montrer que ces trois fonctions P, Q, F», ainsi calculées vérifient dans tout l'espace la condition M = o.
1° La quantité M est nulle dans les anneaux de tourbillon. — En effet, supposons le point x^ y, z intérieur à un tube de tourbillon, c'est à-dire à la masse fictive attirante. Appelons S la surface qui limite les anneaux de tourbillon, di un élément superficiel quelconque de cette surface, a, [3, y les cosinus directeurs de la normale menée à d'y extérieurement à S. Nous avons, au n° 579, calculé la dérivée première par rapport à x d'un
4t6 ÉQUILIBRE KT MOLVEMKNT DES MILIEUX CONTINUS.
potenliel
dans le cas où le point x, y, z estinléiieur à la masse attirante, et nous avons trouvé, en appelant r/, 6, c les coordonnées de l'élément ch,
«RI dx
Appliquons cette formule et les formules analogues aux trois fonctions P, Q, R, en nous rapj^elant que les coordonnées de l'élément ch sont appelées ici x\ y' , z' . Nous aurons
Ox an:,/ ,/ /■ J-~ J J ,1 I- ûx'
En ajoutant membre à membre et remarquant que les trois intégrales doubles sont' étendues à la même surface S et les trois intégrales triples au même volume V, on a
'i'^JJ^r ' ' '^ ■>-J J Jy r\Ox' Oy dz /
Maison voit immédiatement que l'élément différentiel de chacune de ces intégrales est nul. D'abord, pour l'intégrale double, on a,
sur S,
car la surface S étant une surface de tourbillon, le vecteur ç', y/, "C' relatif à chaque point de cette surface lui est langent. Ensuite, pour l'intégrale triple, comme les fonctions ç, r, , ^ de x^y, z vérifient l'identité (21) par hypothèse, ces mêmes fonctions, quand on y remplace x,y, z par x\y', z' vérifient l'identité
