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quantité nulle, puisque AP,AQ, AR sont nuls en dehors des anneaux de tourbillon en vertu des relations (aS). Mais alors, en continuant à porter notre attention sur l'espace extérieur aux anneaux de tourbillon, nous voyons que M est une fonction harmoni(jue uniforme et lînie dans cet espace, admettant des dérivées premières et deuxièmes, et s'annulant sur les limites de cet espace ; on a donc (n» 590)
dans tout l'espace extérieur aux anneaux.
En résumé, M est nul partout.
Toutes les conditions imposées à P, Q, R sont remplies et les formules (aS) donnent les valeurs de m, c, w en fonction des tourbillons ç, r, , (^. Ces valeurs sont, en remplaçant P, Q, Pi par leurs expressions (2^) et (28),
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ch.
4l8 ÉQUILIBRE li T M 0 L V K M i: XT DES MILIEUX COXTIXUS.
7C8. Interprétation des formules précédentes. — Comme on a
les formules ci-dessus s'écrivent
où Yj', r, . ... sont les valeurs du lourhillon dans l'élément ch situé au point ^', j', ^' à l'instant t. Chaque élément dr: de la masse qui constitue les anneaux de tourbillon contribue ainsi, pour sa part, à donner un terme infiniment petit dans les sommes qui déterminent les composantes a, i\ iv de la vitesse A\ en un point quelconque P de la masse liquide, cpie ce point soit intérieur ou extérieur aux anneaux de tourbillon.
Un élément ch de coordonnées x' , y\ z\ pris dans un des anneaux de tourbillon, est animé de la rotation ç', r/, XJ ; si cette rotation entraînait tous les points de l'espace, comme s'ils appartenaient à un même corps solide, le point \^[x,y^z) aurait une vitesse W de projections
u' = ■rjiz — z')~l^(y — y'), i'' =r(.r-,r')-r(^-^'), iv' = l'(y — y') — r/ix — x'),
d'ain'ès les formules élémentaires des rotations. Les termes provenant de l'élément d-: dans chacune des sommes (29) peuvent alors s'écrire
■ ' -iT.r' ■'.-/•"* -it:/-^
ce sont les projections sur les axes d'un vecteur H égal à
aj)|)li(|ué au point P. Les projections u. c, w de la vitesse W du point l* peuvent alors s'écrire
"■• "-//x^.- '-/a^-' -jn.^^--'
