THÉORIE DES TOURBILLONS

et Ton voit que la vitesse W est la somme géométrique des vec-

teiirs H ^ ch appliqués en V .

On peut dire que la part conlributive de cliaque élément ch cles anneaux de tourbillon , dans la vitesse W (Vun point quelconque P de la masse, est égale à la vitesse W que prendrait ce point par l'effet de la rotation (H', '^', C) de l'élément d-, multipliée par , r désignant la distance du

point P à f élément d- {Jig- 339).

Part contributive cV un anneau de tourbillon injînimeni délié. — L'ensemble des anneaux de tourbillon peut être divisé en anneaux infiniment déliés (n" 760) avant chacun une certaine intensité I. 11 est dès lors important de déterminer le vecteur qui représente la part contributive d'un de ces anneaux dans la vitesse d'un point quelconque P de la niasse liquide. L'élément ch peut être regardé comme étant obleriu en coupant un anneau de tourbillon infiniment délié {Wirbelfaden) par deux sections droites A et li dont Taire est ch et la dislance AB égale à ds

{Jig- 339). On a alors

d- = dz ds.

La rotation ù de cet élément d- est tangente à l'anneau; la vitesse W ([ue prendrait le point P par l'eflét de la rotation <>

Fig. 339.

est égale au produit de t> par la distance PP' du point P à l'axe ti delà rotation; elle est dirigée perpendiculairement au plan de P et de il dans le sens qui résulte du sens de la rotation 0. Mais PP'

est évidemment égal à /-sinca, si l'on appelle r la distance de P à ch et 'i Tangle de 0 avec /■; donc

\V'= ilW' = <>/-sino.

Le vecteur H, représentant la part contributive de l'élément ch dans la vitesse du point P, est alors, puisque ch = ch cls,

W iî si no H = d-z = =- c/c7 ds.

Comme l'intensité (ou le moment) de l'anneau de tourbillon infiniment délié est (n" 760)

\ =-iQ. dn,

le vecteur H peut s'écrire aussi

II = ~- - ds siii':;.

Enfin, le vecteur K, représentant la part contributive de l'anneau de tourbillon infiniment délié, dans la vitesse W du point P, est la somme géométrique K de ces vecteurs H, somme étendue à tous les éléments cls de l'anneau infiniment délié.

Connaissant le vecteur K relatif à chaque anneau de tourbillon infiniment délié, on aura la vitesse W au point P en faisant la somme géométrique des vecteurs K |>our tous les anneaux infiniment déliés qui constituent les anneaux considérés.

Analogie électroclynamique. — On voit maintenant se manifester une analogie éleclrodvnamique des plus remarquables. Imaginons que l'anneau de tourbillon infiniment délié que nous venons de considérer soit remplacé par un conducteur linéaire parcouru par un courant électrique dinlensilé I, et qu'au point P on place un j)ôle magnétique de masse i. L'action du courant sur le pôle P est un vecteur K (n" olA) résultant de vecteurs élémentaires égaux à

k\ ds sin o

appliquésen P perpendiculairement au planPf/5, h désignant une constante qui dépend du choix des unités. Si, pour simplifier, on

choisit les unités de façon que â^ = -7— > on voit (lue l'action K de

CHAPITRF XXXV. — T II É O R I L" DES T 0 T R B 1 1, LOX S . ^21

ce courant lîctit' sur le pôle P représente la part contributive de l'anneau de tourbillon infiniment délié dans la vitesse du point P. La vitesse W du point P est donc identique à l'action résultante exercée, sur le |)ôle magnétique P, par un ensemble de courants électriques parcourant chaque tube de tourbillon infiniment délié avec une intensité égale à l'intensité de ce tube.

769. Potentiel des vitesses provenant de l'action d'un tube de tourbillon infiniment délié. — Nous avons vu au n" 574 que, si un courant électrique d'intensité 1 parcourt un conducteur linéaire fermé, l'action K de ce courant sur un pôle magnétic|ue P est identic[ue à celle d'un feuillet magnélique S limité |)ar le courant, la constante 'x relative au feuillet (n"'o71 et 574) étant égale à Al. Or, cdinme nous l'avons démontré dans la théorie du potentiel newtonien (n° 571), l'action K d'un feuillet magnétique sur un point P dérive d'un potentiel U qui a, pour valeur absolue, le produit de la constante [x relative au feuillet par l'angle solide sous lequel on voit du point P le feuillet considéré. ÎNous avons, au n°571, appelé cet angle 0. Comme, actuellement, la lettre O est employée pour désigner le tourbillon, nous emploierons la lettre S pour désigner cet angle solide et nous prendrons, pour le potentiel U,

u= — |j.e, [j- = ki,

en mettant en évidence le signe — dans le but de donner une règle plus simple pour délerminer le signe de 0.

Mais nous venons de voir que, pour identifier l'action K du courant électrique avec la part contributive de l'anneau infiniment délié de tourbillon d'intensité I, dans la vitesse du point P, il suffit de prendre A- = — -; le vecteur K dérive donc alors du potentiel

0 désignant l'angle solide sous lequel on verrait du point P l'aire d'une surface fictive continue S avant pour contour Fanneau de tourbillon infiniment délié. Pour préciser cette valeur du potentiel, il faut regarder 0 comme positif ou comme négatif suivant que, du point P, on voit l'une ou l'autre des deux faces de la

surface S. On verra, indépendamment de toiile analogie électromagnéliqiie, quelle est celle des faces de S qu'il convient de regarder comme positive, en remarquant que, I étant positif, le potentiel U augmente quand 0 diminue et, inversement, diminue quand 0 augmente. Or le vecteur W dérivant de la fonction U est dirigé dans le sens des U croissants, c'est-à-dire des 0 décroissants. Si le point P est près de la surface S du côté positif, 0 va en croissant quand on s'approche de la surface; la vitesse du point P est donc dirigée de façon à l'éloigner de la surface; au contraire, si P est du côté négatif, sa vitesse est dirigée de façon à l'aj^procher delà surface S : un point P du liquide placé sur cette surface fictive S aurait donc sa vitesse dirigée du côté positif de S. Or, en prenant le point P sur cette surface S, dans l'intérieur de l'anneau, on verra immédiatement, d'après l'orientation des tourbillons Q le long de l'anneau, dans quel sens les rotations ù tendent à déplacer le point P : on connaîtra donc la face de S qu'il faut regarder comme positive.

Par exemple, dans la Jig'. 33g, en supposant Tanneau plan et situé dans le plan ,du papier et la surface S confondue avec la portion de papier intérieure à l'anneau, les rotations ii tendent toutes à imprimer aux points de S des vitesses dirigées au-dessous du papier; la face positive de S est donc le dessous de la feuille de papier.

Le potentiel des vitesses dues à un anneau infiniment délié

n'est |)as uniforme dans l'espace extérieur à l'anneau ; sa variation continue le long d'une ligne L, traversant une fois l'intérieur de l'anneau, comme dans la Jïg- 33^, est égale à 1; cela tient à ce que, dans les mêmes conditions, la variation continue de 0 est égale à 4'^- Ce dernier point devient évident dans le cas d'un anneau plan, car, en prenant comme surface S fermant l'anneau la j:)arlie du plan de l'anneau qui lui est intérieure, on voit que 0 = -|-27r quand le point P est infiniment voisin de S du côté positif, et 0 = — 27: quand le point P en est infiniment voisin du côté négatif. Pour une discussion détaillée de la variation de l'angle solide 0 sous lequel on voit un contour donné, nous ren-