CII.VPITRK WXV. — TIlÉORIi: D Jl S T0UU1ULL0NS
verrons à rOuvrage de M. Duheni : Leçons sur V ÊlecLvicité et Le Magnétisme, t. III, Chap. III.
770. Anneau de tourbillon infiniment délié et feuillet de doublets. — Nous avons vu que ie potenliel des vitesses dû à un doublet (n° 749) est identique au potentiel de l'attraction d'un aimant élémentaire. Un feuillet magnétique uniforme étant formé d'aimants élémentaires tous égaux, normaux au feuillet, on voit que le potentiel de Tatlraclion d'un feuillet magnétique S est identique au potentiel des vitesses d'une surface 5 constituée par des doublets élémentaires tous égaux, normaux à celte surlace et uniformément répartis : les sources positives étant sur la face que nous venons de définir comme la face positive et les sources négatives sur l'autre. Le potentiel des vitesses dues à un anneau de tourbillon infiniment délié est alors identique à celui d'un feuillet de doublets S ayant cet anneau comme contour. Si l'anneau existait seul dans un fluide sans rotation, on pourrait se représenter le mouvement de ce fluide comme si le fluide sortait du feuillet par les sources positives et rentrait dans le feuillet par les sources négatives : dans ce cas, la circulation, c'est-à-dire la variation continue du potentiel des vitesses le long d'une ligne L, traversant l'anneau serait égale à l'intensité de l'anneau {fig. 337), et le feuillet de doublets jouerait le rôle de la cloison S employée à propos de cette fi g. 33;, pour rendre simplement connexe l'espace extérieur à l'anneau.
771. Potentiel des vitesses dans la partie irrotationnelle d'un liquide indéfini avec un nombre quelconque d'anneaux de tourbillon. — Si nous partageons les anneaux de tourbillon en anneaux infiniment déliés, le potentiel des vitesses dues à un de ces anneaux est, en tous les points P de l'espace extérieur à l'anneau,
I désignant l'intensité de l'anneau et 0 l'angle solide sous lequel on voit du point P la face positive de l'intérieur de l'anneau. Le potentiel des vitesses en un point P de la partie irrotationnelle étant la somme des potentiels dus aux divers anneaux infiniment
déliés, ce potentiel est
la somme étant étendue à tous les anneaux infiniment déliés.
Ce potentiel cp est égal au potentiel de l'action résultante de tous les courants électriques I sur un pôle magnétique P.
Pour un anneau infiniment délié, on a
I = 'xilch.
0 étant le touibillon en un point de l'anneau et cIt la section droite en ce point; on a donc aussi
o = '- / ilid ch.
la somme étant étendue aux sections droites des divers anneaux.
Ces formules supposent que le point P considéré est dans la partie irrotationnelle. En un point de la partie tourhillonnaire du liquide, les vitesses ne dérivent jjIus d'un potentiel, d'après la définition même du tourbillon; on peut les calculer par les formules générales (ag).
D'après l'analogie élcctrodynamique , en remplaçant chaque anneau de tourbillon infiniment délié par un courant de même intensité, on obtient un système de courants qui ])roduit un champ magnétique. Le vecteur qui représente l'action de ce champ en un point quelconque P est, à un ("acteur constant près, identique à la vitesse de la particule fluide placée en P. Les lignes de force magnétiques se confondent avec les lignes de courant hydrodynamiques.
772. Vitesse de déplacement de la surface d'un anneau ou d'un tube de tourbillon. — La surface d'un tube ou d'un anneau de tourbillon constitue une surface de discontinuité. En eifel, les vitesses varient d'une manière continue d'un côté à lautre de cette surface; mais leurs dérivées premièi'es, par rapport aux coordonnées, sont discontinues, puisque le vecteur tourbillon est égal à zéro d'un côté de cette surface et différent de zéro de l'autre.
CIl.VPlTRi: XXXV. — THÉORIE DES TOURBILLONS. 425
La surface S du lubc ou de l'anneau se déplace avec le temps; son équation est donc de la forme
On définit la vitesse de dé[)lacemenl de celle surface en chaque point, à chaque instant, comme on l'a fait au n" 71i pour définir la vitesse de propagation d'une discontinuité. Celle vitesse, en chaque point de S, à chaque instant, est alors (n" 714)
(33) G=ig, OÙ l'on a posé
(3i; /--Vf^l+I^,)-!^)
On peut donner une autre expression de celte vitesse en remarquant qu'il se présente ici une circonstance particulière, c'est que la surface de discontinuité estime surface fluide formée constamment des mêmes molécules. Dans ces conditions spéciales, si l'on appelle u^ ç, (v les projections de la vitesse W d'un élément fiuide de la surface S du tube de tourbillon, et a, P, v les cosinus directeurs de la normale en ce poini à celle surface
"^^ k di^ ^ ^ k Oj-' ^^ ~ k Tz
on a
G = 'j.tt^ 3 (■ — -/„. = W„,
Wft représentant la ])rojection de la vitesse W sur la normale.
En effet, si l'on suit une particule x^y^ z- de la surface du tube dans son mouvement, on voit que ses coordonnées vérifient constamment l'équation (Sa). On a donc, en dérivant le premier membre de cette équation par rapport à t, en suivant la particule
c^F dF dF dF
dx à y Oz ()t
d'où, d'après les relations (35),
I dF
k dt
ce qui démontre la formule (36).
D'un colé de la surface S le mouvement est irrotalionnel, II, (', w dérivent d'un potentiel 'jj; on a donc, en un point infinlnienl voisin de la surface placé en dehors du tube,
do
do
do
dT
dz
à cause de la continuité de u, c, (v, ces expressions sont valables aussi près qu'on le veut de la surface S. On a alors, pour la vitesse de déplacement de cette surface, en chaque point, à cliaque
instant,
„ do n do do do
G = a -i -(- p -^ -i- 7 -^ = -y' ' dx dy dz an
la dérivée -7-^ étant prise suivant la normale à la surface du tube an ^
du coté irrotalionnel.
773. Expression de la force vive du liquide. — • La force vive totale du liquide a pour expression
l'intégrale étant étendue à tout le volume du liquide. On peut lui donner une autre forme de façon à la faire dépendre des tourbillons. Pour cela, introduisons les trois fonctions P, Q, R précédemment définies jiar les formules (27 et 28) en fonction des tourbillons. On a
dK dO u= -i ,
dr dz
La force vive peut donc s'écrire
fdV dK\
dx
<iyj\ '^~'
On pourra intégrer par parties chacun des six termes. Par exemple, en remplaçant c/t par c/j; f/}''c^s, on a, pour le premier terme,
y y / " jk ^'^ ^^-^ ^^^ "" / / ^^^ '^~' I " d^ ^'-^''
les limites étant infinies, car le fluide est indéfini; l'intégration par
