CHAPITRE XXXV. — THÉORIE DES TOURBILLONS

parties donne

la partie intégrée est nulle aux limites, car n et R sont nuls à rinfini ; on a donc enfin

On transforme de même chacun des six termes et l'on a finalement

Ow dv\ ^ / àii dw\ ^ / Ov Ou'''

'•'S-ij-'në-S)-n£-sf"*'

ou enfin, d'après la notation des tourbillons,

Si, dans cette expression, on remplace P, Q, R par leui's valeurs en fonction des tourbillons [formules (27 et 28)], on a T en fonction des tourbillons, ])Our un licpiide indéfini.

774. Application : anneaux de tourbillon circulaires de même axe. — Imaginons un liquide indéfini dans lequel toutes les lignes de tourbillon sont des cercles dont le plan est perpendiculaire à l'axe O;; et dont le centre est sur cet axe; supposons, en outre, (pie la grandeur du tourbillon est la même tout le long d'un même cercle.

On peut regarder comme évident, par raison de symétrie, que si cette distribution des tourbillons a lieu à un certain instant, elle aura lieu toujours.

Le liquide est alors, à un instant quelconque, composé d'une partie irrotationnelle indéfinie entourant des anneaux de tourbillon analogues à des tores de révolution autour de Oz. Ces anneaux se déplacent en restant de révolution autour de O^, mais leurs sections droites peuvent changer de forme en même temps que varient

4'28 ÉQUILlBRr; ET M 0 l V E M F N T DES MILIEIX CONTINUS.

les rayons des divers anneaux de tourbillon infiniment déliés qui les constituent.

Pour calculer les vitesses en fonction des tourbillons, nous suivrons la méthode générale qui se simplifie notablement en raison de la symétrie du mouvement autour de O:;.

Nous enij)loierons, pour définir la position d'un point, les coordonnées semi-polaires ^, Ô, z, q désignant la distance du )'oint à O :; ; les variables «y et 9 sont liées à :r et / par les relations

X = q cosO, y = q sinO.

Vitesse. — Le mouvement étant svm('lrique autour de O:;, la distribution des vitesses est la même dans tous les plans passant par Oz\ la vitesse W d'un élément P est située dans le plan ^OP et dépend uniquement de ^, z et /, et non de f). Appelons 5 la composante de cette vitesse suivant le prolongement de la perj)endicuhiiie abaissée du point P sur l'axe Oc et (v sa composante parallèle à O; : s et w seront fonctions de cj, z cl /. Les projections a, r, (v de la vitesse sur les axes Oj;, Oj', O; seront

(87) » = 5cos6, (' = ,tsinO, tf.

Tourbillon. — Comme, par hypothèse, les lignes de tourbillon sont des circonférences ayant pour axe O:;, le tourbillon il relatif à un point P à un instant t doit être j)erpcndiculaire au plan cOP. Or on a, en général, *

^ ^ / dw rh\ i f du dw\ ^ ' / ^^' ^"\

Actuellement, d'après (S^), w, t', w dépendent de x tl y par l'intermédiaire de g et Q qui sont des fonctions de x etj>',

\/3i---\- y-, 0 = arr lanj

et l'on a

-^ — - =cosO, -^ — -^ =sinO.

Ox q Oy q

' dO r sinO ()0 X cosO

ôx x-^-hy'- q Oy x'-~y^ q

On en conclut, en dilTérentiant les formules (3^) et se rappelant