CHAPITRE XXXV. THÉORIE DES TOURBILLONS

que s et iv ne dépendent que de q, z et i,

du ds f, d-z=dz''''^^

dn> d(v

-— = cosO,

dx dq

dv ds . .

= —sinO, dz dz

dy dq

dv du / ds dx " dy ~' \dcj

— - ) -ind cosO.

s ni 0,

Oq J

I / ds dw '''"~ 'i\d'z~ ~ôq

On a donc

I fds dn-\ . „ \ / ds dw\

Ces formules nionlrenl que le vecteur tourbillon Q, qui est perpendiculaire an plan cOP, a pour valeur

I /ds dtx'"^

(4o) ""-"-^[dz-^j)'

cette valeur étant positive ou négative suivant que le vecteur ù est dirio^é dans le sens positif ou le sens négatif des rotations autour de O:;. La valeur de ù dépend uniquement de q, z et t.

Détermination des vitesses. — Si nous revenons maintenant à notre problème, 0 est donné aux divers points P en fonction de ^, z et ^, et il s'agit d'en déduire les vitesses 5 et «v. Pour préciser ce point, imaginons qu'on mène un plan fixe quelconque par O:; : ce plan coupe les anneaux de tourbillon suivant certaines aires A,, Ao, ...; on suppose il connu, à l'instant ;, en fonction de^,:; aux divers points de ce plan, Q étant nul en dehors des aires et différent de zéro dans l'intérieur.

Nous avons, dans le cas général, déterminé les vitesses en fonction des tourbillons, pour un liquide indéfini, par les formules (23) du n" 767, dans lesquelles P, Q, R sont données par les intégrales définies (27 et 28) étendues aux volumes des anneaux de tourbillon. Dans ces formules, ch est un élément de volume des anneaux ayant pour coordonnées x' , y', z' , les lettres ç', y/, Z,' désignent les projections du tourbillon correspondant à l'élément di^ et la lettre r désigne la distance

du point x\ y, z' au point .r, y, z.

àQ

dr>

âP

Il ^ -

Oz '

âx

430 ÉQLILIBRE ET .M O f V E .M E N T DES MILIELX CO.XTI.NUS.

Comme, actiielleineiil, "C esL identiquement mille, la troisième des iormules (28), dans laquelle Ç'=o, donne immédiatement R = o ; on a donc jDOur w, t', w les expressions suivantes :

les fonctions P et Q de ^, y^ z- étant définies par les deux premières des formules (2- et 28),

Appelons q', 9', :;' les coordonnées semi-polaires de l'élément d-:, q, 0, z celles du point ^, j', z; nous aurons

37 = ^ cosO, ^^ = ^51116. a"' = ^'cosO', j^'= (^'?in6'.

(43) /- = v/5''-r- q'-— igq' cos(<i' — 0) -+- {z — z')-.

Pour évaluer ch, supposons les anneaux de tourbillons décomposés en anneaux infiniment déliés de révolution autour de O;; appelons (h la section d'un de ces anneaux de rajon q' par un plan passant par O:;. Si l'on considère deux de ces plans faisant entre eux l'angle dH\ ils découpent dans l'anneau un élément d~ ayant la forme d'un cylindre droit de base dr et de hauteur q' d^ï ;

on a donc

d-, = chqcM.

Nous avons, en outre, d'après (Sg),

ç = — o sinO, 7, = QcosO,

i.i étant donné en fonction de ^, ; et t\ donc

î' = — o'sinO', Y/=o'rosO'.

Î2' étant une fonction connue de </', z> et l. On a donc

Pour calculer ces intégrales étendues au volume des anneaux, on pourra d'abord faire la somme des éléments correspondant à un