CHAPITRE XXIX. — ATTRACTION. POTENTIEL

^ène. Cela posé, en adoptant les notations précédentes, on a pour la valeur du potentiel de la ligne au point P(.'r,j)', z)

l'intégrale étant prise le long de la ligne.

Le potentiel est alors exprimé par une intégrale simple. 11 est une fonction continue de x^ y, z admettant des dérivées également continues en tous les points ne coïncidant pas avec un des éléments de la ligne attirante. Enfin la fonction U vérifie l'équation

de Laplace

AU = o,

en tous les points non situés sur la ligne attirante.

563. Potentiel d'une simple couche. — Soit une couche attirante d'épaisseur infiniment petite ayant la forme d'une surface S. Soient di un élément superficiel de cette couche, chu la masse de ma-

tiere attirante contenue dans cet élément; le rapport -^^^ p s appelle densité superficielle de la couche atlirante ; quand p est constant, la couche atlirante est homogène. En désignant, comme plus haut, par /■ la distance du point potentié Vi^x^y^z) à l'élément dm de coordonnées «, h, c, on a pour le potentiel

dm r r 9 d:i

^-r-^-Ji'^

Dans cette intégrale, «, h, c, p sont, sur la surface S, des fonctions de deux paramètres. On a donc à calculer une intégrale double.

La fonction potentielle U ainsi que l'attraction R qui en dérive sont continues en tous les points P de l'espace non situés sur la surface attirante. Le potentiel U reste même continu quand le point P traverse la surface attirante; mais l'attraction varie alors d'une manière discontinue. C'est ce que nous montrerons d'abord sur des exemples. Enfin, en tous les points non situés sur la couche, la fonction U vérifie l'équation de Laplace AU = o.

566. Exemple. — Potentiel d'une couche sphérique homogène infiniment mince. — Nous allons établir les proposilions suivantes :

Soit une couche sphérique homogène infiniment mince de masse totale M, de centre O et de rayon R ; la valeur du potentiel de cette couche en un point P intérieur à la couche est

constante et égale à — ; la valeur du potentiel en un point V extérieur à la couche est égale à jrp-

Premier cas : le point P est intérieur. — Traçons du point 1* comme sommet un cône d'ouverture infiniment petite découpant sur la sphère deux éléments superficiels cH et d'i' placés à des

dislances /• et /' de P. Soit p la densité superficielle de la coucke ; les masses dm et dm' des éléments d-j et dd' sont

d/n = p û?j, dm' =^ p d'j'\

leurs attractions sur l'unité de masse placée en l^ sont dirigées en sens contraires et ont pour intensités

Mais les éléments dd et di' font des angles égaux 0 avec une génératrice quelconque AA' du cône : si donc on décrit de P comme centre avec PA = /-et PA'= /•' comme rayons des surfaces sphériques, le cône considéré découpe sur ces surfaces des éléments dhi et <^o>'qui peuvent être regardés comme les projections