CHAPITRE XXIX. - ATTRACTIO>i. POTENTIEL. jç

(le dn et di\ et on a

diji = c?iT sin 0, f/co' — ch' sin 0 ;

d'autre part dui et c/to' sont proportionnels aux carrés de leurs distances /■ et /' au sommet P; on a donc

cIm d'j r-

d(x)' ch' /■'-

d'y da'

Les attractions des éléments dy et d?' sur le point V sont donc égales et opposées. Toute la surface de la couche pouvant ainsi être divisée en couples d'éléments c/t et d^' dont les actions se neutralisent, l'action totale de la couche sur le point P est nulle. Donc, en tous les points intérieurs, le potentiel est constant, car

ses dérivées partielles -^— , -^- > -^ qui deiinissent l attraction sont ' ox oy az '

nulles. La valeur constante de ce potentiel à l'intérieur est égale à sa valeur au centre, qui est

^-l.'i-kl.

Deuxième cas : Le point P est extérieur. — Soit P' le point conjugué harmonique de P par rapport aux deux extrémités du

Fi!

diamètre OP, c'est-à-dire le point tel que OP.OP'-^ R-. Soitf/m un élément de masse placé en A. Les triangles OAP et OAP sont

5o ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

semblables, car ils ont un angle égal O compris entre côtés proportionnels : en appelant /■ et ;•' les distances AP et AP', on a

donc

/• OP r' ~ R ■

Le potentiel U au point P est remplaçant /• par sa valeur tirée de la relation précédente, on a

Cette dernière intégrale / -, est la valeur du potentiel de la couche au point intérieur P' : on a donc, d'après le premier cas.

et

OP

Nous avons ainsi l'expression du potentiel au point extérieur P. Ce potentiel est le même que si toute la masse de la couche était concentrée au centre. On en conclut que l'attraction cV une couche sphéricjue homogène sur un point extérieur est la même ijue si toute la masse de la couche étcùt concentrée au centre.

Continuité du potentiel. — Quand le point P, situé d'abord à l'extérieur, se déplace d'une manière continue, le potentiel varie d'une manière continue : quand P atteint la couche infiniment

mince, le potentiel prend la valeur - qu'il conserve ensuite dans

tout l'intérieur. Le potentiel varie donc d'une manière continue quand P traverse la couche. Il n'en est pas de même pour l'attraction.

Discontinuité de V attraction. — Si le point P est infiniment voisin de la couche à l'extérieur, l'attraction est dirigée suivant

PO et égale à -j^., ; si, au contraire, le point P est infiniment

voisin de la couche à l'intérieur, l'attraction est nulle. Cette al-