CHAPITRE XXXVI

780. Objet du Chapitre. — Imaginons un fluide en mouvement parallèlement à un plan fixe, de telle façon que la vitesse de chaque élément soit parallèle au plan et que les vitesses de tous les éléments situés sur une même perpendiculaire au plan soient identiques. Ce fait se produit, par exemple, pour un liquide pesant en mouvement dans un canal dont les parois latérales sont des plans verticaux parallèles et dont le fond est un plan perpendiculaire aux parois latérales ou, plus généralement, une surface cylindrique ayant ses génératrices perpendiculaires aux parois; les conditions initiales étant telles qu'à l'instant initial toutes les tranches parallèles aux parois soient dans le même étal. Il se présente aussi quand de l'eau s'écoule régulièrement par-dessus un déversoir rectiligne horizontal : la nappe qui s'écoule forme une couche cylindrique dans laquelle toutes les vitesses sont parallèles à une section droite et identiques le long d'une génératrice, etc. Si l'on prend, dans un mouvement de cette nature, un plan des xy parallèle au plan fixe, la composante w de la vitesse d'un élément est nulle, et les deux autres composantes u, i> dépendent uniquement de x^y, t et non de z. La composante Z de la force appliquée à l'unité de masse doit être nulle, X et Y doivent dépendre uniquement de x et y. Enfin la pression et la densité sont fonctions uniquement de x,y^ t.

Dans ces conditions, les équations du mouvement se réduisent

à deux

du \ dp '^^ Y l -^

dt ' p dx dt p 4X

456 ÉQUILIBRE I:T mol VE. mi: NT DES MILIKLX CONTINUS.

et réqualion de conliniiité devient

do l du dv \

dt \ox dy I

Les lignes de courant et les trajectoires sont dans des plans fixes parallèles an pian des xy.

Quant au vecteur tourbillon d'un élément quelconque, il est perpendiculaire au plan des xy^ à moins qu'il ne soit nul : en effet, ; et y, sont nuls, et

r — i /— ^^ 2 \ dx ôy j

Les lignes de tourbillon sont donc des droites perpendiculaires au plan des xy et les tubes de tourbillon des cjliiidres perpendiculaires à ce plan : si c/t est la section droite d'un tube de tourbillon infiniment délié, l'intensité de ce tube est

I = a^rfa,

car le tourbillon Q se confond avec sa composante^.

Le problème devient alors un problème de Mécanique à deux dimensions. Il suffira de savoir comment se meuvent les éléments situés dans le plan des xy ^ pour connaître le mouvement de toute la masse fluide.

781. Cas d'un liquide; fonction de courant. — Dans le cas d'un liquide incompressible, l'équation de continuité devient

du dv

dx Oy

Elle exprime que. à chaque instant /, l'expression

— V dx — u dy

est la différentielle Lolale d'une certaine fonction 'l[x,y,t) définie à une fonction addilive de / près. On peut donc poser

dy dx

On appelle cette fonction \^ fonction de courant {carrent f unelion) parce qu'elle donne les lignes de courant : en effet, à l'in-

stant t, les lignes de courant ont pour équation différentielle,

dans le plan xOy^

— V dx 4- u dy = ( > OU

d<\ = o. i|i = const.

782. Conditions aux parois. — L'introduction de cette fonction d», dans les mouvements des liquides à deux dimensions, simplifie l'expression de certaines conditions aux limites.

Supposons d'abord que le liquide soit assujetti à rester en contact avec une surface cylindrique fixe ayant ses génératrices perpendiculaires au plan xO y et ayant pour trace sur ce plan une courbe donnée; à chaque instant <, la vitesse d'un élément en contact avec celte courbe doit lui être tangente; cette courbe est donc une ligne de courant et la fonction '\) doit être, à chaque instant, constante le long de la courbe.

Supposons ensuite que la paroi soit une surface cylindrique rigide perpendiculaire au plan des xy^ ayant un mouvement donné. La section de cette surface par le plan des xy sera une courbe G de forme invariable animée d'un mouvement connu. Soit M, un point pris sur la courbe et invariablement lié à la courbe, x, y les coordonnées de ce point à l'instant t^ Wj la vitesse de ce point dans le mouvement de la courbe et w,, <', les projections de cette vitesse; on aura

«1 = — w(j^ — ^ ), t'i = oj(.r — a).

a el b étant les coordonnées du centre instantané de rotation de la courbe G et co la vitesse angulaire instantanée de cette courbe : ces quantités sont des fonctions connues de t. D'autre part, soit M un élément liquide en contact avec la paroi en M, ; cet élément a aussi pour coordonnées x e^ y, mais sa vitesse W(m, v) est différente de Wi . La condition à la paroi est que la vitesse relative W^ de l'élément liquide par rapport à la paroi soit tangente à la paroi; mais cette vitesse relative est la différence géométrique de la vitesse absolue W et de la vitesse d'entraînement W),

et ses projections sur les axes sont

IIL 3o

c'est-à-dire

(W;.) -^ -^to{r — b), — -f- ~ u}{x— a).

Exprimons que ce vecteur W^ est tangent à la paroi à l'instant t : en appelant c/x, dy les projections d'un élément d'arc de la courbe C, on devra avoir, tout le long de C,

ilx ~ dy ou en chassant les dénominateurs

d'il d'I)

-^ dx -^ -y- '^y — — w [l'^r — a)dx -^i y — h ) dy ],

ce qui donne, en intégrant,

(2) <!/ = [(a; — a)2-t- (/— 6j2J -+- consl.

tout le long de C, la constante pouvant dépendre du temps. Si le mouvement de C est une simple rotation autour d'un point fixe, on peut prendre ce point pour origine ; alors a et ^ sont nuls.