I. - MOUVEMENT IRROTATIONNEL D'UN LIQUIDE
783. Équations générales; fonctions conjuguées. — Si le mouvement d'un liquide est irrotaliounel et parallèle à un plan fixe xOy, les composantes u^ v de la vitesse à l'instant t dérivent d'un potentiel '-p(x,jK, ^)
L'équation de continuité devient actuellement
cette équation montre que cp est un potentiel logarithmique ( n" 6O0). Les surfaces équipotentielles ca = const. sont des cylindres perpendiculaires au plan des xy; leurs traces sur ce plan sont les lignes équipoleiitielles.
CHAP. XXXVI. — MOUVEMENTS PARALLÈLES A UN PLAN FIXE, ^jg
Si les forces appliquées dérivent d'une fonction de forces lJ{x, y, z), la pression/? est donnée par la première des équations (48) du n° 738, dans laquelle cp est indépendant de z,
Fonction de courant. — Dans le cas actuel, la fonction de courant h définie au n° 781 est liée au potentiel des vitesses a par les deux relations
ax oy (Jy dx
qui donnent, par l'élimination de '-p, la relation
Comme la vitesse en chaque point est tangente à une ligne de courant et normale à une ligne équipotentielle, ces deux sortes de lignes '^ = const. et cp = const. se coupent à angle droit.
Introduction des fonctions d'une variable complexe. — Les deux relations (6) entre cp et (|i montrent que, en désignant par i l'unité complexe ^ — i, la quantité
est une fonction de la variable complexe x-{-yi\ et, réciproquement, si l'on prend une fonction d'une variable complexe J{x +yi) pouvant contenir le temps t., et si on la met sous la forme cp + tdi, cp et ^ étant réels, on a deux fonctions âe x el y vérifiant les relations (6). Ces propositions élémentaires sont bien connues; elles servent de base à la théorie des fonctions d'une variable complexe (Riemaniv, Œuvres complètes, traduction française de Laugel : Théorie des fonctions abéliennes, p. 89; Briot et Bouquet, Théorie des fonctions elliptiques; Picard, Traité d^ Analyse, etc.).
A chaque mouvement plan irrolationnel d'un liquide correspond ainsi une certaine fonction de la variable complexe x -\-yi et du temps t\ et, réciproquement, si l'on prend une fonction de x-\-yi et de t, on en déduit les deux fonctions conjuguées co et '| pouvant
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être prises, avec un choix convenable de conditions aux limites et de conditions initiales, pour le potentiel des vitesses et la fonction de courant d'un certain mouvement irrotationnel d'un liquide. Si le mouvement est permanent, la fonction de x + yi ne contient pas t.
L'identité
cp-4- £.{/ =f(x-hyi)
devient, après multiplication par /,
— 4/-f- itp = if(x-^yi);
à la fonction if[x-\-yi) correspondrait donc un deuxième mouvement ayant pour potentiel des vitesses — <h et pour fonction de courant o. C'est ce qui résulte aussi des relations (6), qui conservent la même forme quand on fait — ij; = a, et 'j = (|/,.
784. Mouvements ondulatoires d'un liquide pesant. — Imaginons un liquide pesant en équilibre : supposons qu'à un certain instant on écarte le liquide très peu de sa position d'équilibre en produisant des dénivellations de la surface, puis qu'on imprime aux divers éléments des vitesses très petites. Il se produit alors un mouvement ondulatoire que nous nous proposons d'étudier dans les cas les plus simples. Lorsque le liquide a une profondeur indéfinie, le problème a été résolu par Cauchj dans le Mémoire déjà cité, Théorie de la propagation des ondes à la surface d'un fluide pesant d'une profondeur indéfinie (Prix de l'Académie royale des Sciences de i8i5 et de 1816).
Nous supposerons ici que le mouvement se fait parallèlement à un plan fixe et qu'il est irrotationnel; nous donnerons d'abord quelques indications sur la Cinématique du phénomène, en portant notre attention sur la surface libre.
785. Cinématique du mouvement, par ondes parallèles, de la surface d'un liquide pesant. — Imaginons un liquide pesant dont les éléments se meuvent parallèlement à un plan vertical fixe : nous prendrons, dans ce plan, l'origine O au niveau que présenterait le liquide s'il était immobile, l'axe Ox horizontal et l'axe Oy vertical ascendant.
Onde progressive simple. — On dit qu'une onde progressive
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simple se propage à la surface quand l'équation de la surface libre, à un instant quelconque ^, est de la forme
y ^ a cos( mx — st -h ol),
a, m, s, y. désignant des constantes. Le liquide lui-même est alors animé d'un mouvement ondulatoire simple.
A l'instant t, la surface libre est un cylindre ondulé {/ig- 34 1)
Fig. 341.
yy^^\
dont la base sur le plan xOv est la courbe sinusoïdale (8); les maxima de l'ordonnée de cette courbe, tous égaux à a, ont lieu aux abscisses
Xq ■■
st
st — a 9. A-
k étant un entier qui prend toutes les valeurs de — 00 à 4- oc : un minimum — a de l'ordonnée a lieu à égale dislance de deux maxima consécutifs; la longueur a est V amplitude de l'onde.
La dislance constante AB de deux maxima consécutifs, c'està-dire des crêtes de deux vagues consécutives, est la longueur l de l'ondulation
Si maintenant nous portons notre attention sur les maxima A, B, . . ., c'est-à-dire sur les crêtes des vagues, ces points géométriques, ayant des ordonnées constantes et égales à a, se déplacent, quand t varie, sur une parallèle k Ox, avec une vitesse V qui est la même pour tous, car la dislance de deux maxima consécutifs est constante; la valeur de celte vitesse est, en désignant par Xq l'abscisse du point A,
(II) ^.^dXo^S^^
^ ' dt m
/l6i ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.
d'après la valeur (9) de Xg. Celte vitesse V est la vitesse de propagation de l'onde : il va de soi que celte vitesse est absolument différente des vitesses que possèdent aux divers instants les éléments matériels du fluide, vitesses que nous déterminerons approximativement plus loin.
D'après cela, la surface libre est, au point de vue géométrique, un cylindre ondulé de forme invariable qui glisse parallèlement à Ox avec une vitesse V : à l'instant t le cylindre occupe une certaine position {Jig. 340? P^^'^ ^^ ^^ déplace avec la vitesse \ et, au bout du temps
ri2)
il a glissé d'une longueur / égale à la distance AB de deux vagues consécutives : il offre alors le même aspect qu'à V instant t^ car chaque vague a remplacé la précédente. Le temps T ainsi défini est la période de l'ondulation.
Avec ces notations, on peut écrire l'équation de la surface libre sous l'une des formes .
jK = rt CCS p^ (x — VO -^ 3: ,
où l'homogénéité est en évidence.
Ondes progressives simples superposées. — Quand la surface libre a une équation de la forme
y — cil cos( niix — Sit -h 7, ) -+- «2 cos(miX — s^l -^ oci) -h . . . -h Un co?,{ m,iX — s„( -f- a,j),
on dit que n ondes progressives simples se propagent simultanément à la surface du liquide : chacune de ces ondes possède son amplitude, sa longueur, sa vitesse de j)ropagation et sa période.
Ondes stationnaires. Clapotis. — Supposons, pour prendre un exemple particulier, que deux ondes progressives simples de même amplitude et de même longueur se propagent en même temps à la surface d'un liquide «cec des vitesses égales et opposées, et cherchons la forme de la surface libre à l'instant t. Cette surface aura
pour équation
j = acos-T^(j" — VfjH-a -f-a cos ^' ( a: -t- V ^ ) H- ^ ;
en remplaçant la somme des deux cosinus par un produit de cosinus, on a
/ttV (i 3 ) y =z 2a cos ( — r- t
A l'instant t la surface est encore un cylindre ondulé dont la base est une courbe sinusoïdale, mais la forme de cette courbe change avec t. Les valeurs de x qui rendent y maximum ou minimum sont indépendantes de t.
, ^ -I- a , 3 H- a XQ = —(i , T/^ = —l h kl;
