CHAPITRE XXIX

ATTRACTION. POTENTIEL

traclion varie donc brusquement quand P traverse la couche. En appelant p la densité superficielle de la conchc, on a M =; 'î-R-p, et on voit que la composante de V atlraclion normale à la couche (composante qui, dans le cas actuel, se confond avec l'attraclion même) varie de 4'^/p quand le point P traverse la couche.

Energie potentielle de la couche. — Nous avons vu (n"553) <^pie Ténergie potentielle d'un système de points matériels soumis à l'attraction newtonienne est

m désignant la masse d'un quelconque des points du système et U la valeur du potentiel des autres points en m. Dans le cas actuel, si dm est un élément de la couche, la valeur du potentiel du reste

de la couche en dm est ^ ; on a donc

I rm , ^12

567. Attraction d'une aire plane homogène. — Soit une aire plane S homogène de densité superficielle o. L'attraction H de celte aire sur un point m de masse i peut être décomposée en deux forces, l'une H^^ dirigée suivant la perpendiculaire mp au plan et

Fig. ogi.

l'autre H; dirigée parallèlement au plan. Nous nous bornerons au

calcul de H^p, qui conduit à un résultat simple souvent employé.

Un élément d'aire di placé en P à une dislance V m = /" du

,, , . fzch . ,

point m exerce en m une attraction élémentaire • ' ,, - dont Ja com-

posante suivant nip est

^^-^ — cos6,

0 désignant l'angle Pmp. La composante H^ de l'attraction totale est la somme de ces composantes élémentaires

rintéffrale étant étendue à Taire attirante S. Le calcul de cette intégrale est identique à celui que nous avons fait n" ooo pour le calcul du flux de force du à un point à travers une surface. En effet, si l'on mène la normale PN à l'élément cIt du côté de m, 0 est aussi l'angle mPN; la force H^ est donc le flux de force qui serait produit par un centre attractif de masse p placé en jii à travers l'aire plane, dans le sens PN. Si l'on considère le cône avant pour sommet m et pour base l'aire plane, et si l'on désigne par Q l'aire découpée par ce cône sur une sphère de centre m et de ravon i, on a, comme on l'a vu au n" ooo,

Si le point attiré ni est très près du plan attirant, à une distance du plan qui est infiniment petite par rapport aux distances du point m aux points du contour de l'aire, l'aire Q diffère infiniment peu d'un hémisphère; ou a donc alors

Il va de soi que l'on ne peut rien dire a priori de la composante Hf parallèle au plan, puisque cette composante dépend de la forme du contour de l'aire. Dans le cas particulier où le contour de l'aire a pour centre de symétrie la projection p du point attiré ni sur le plan, il est évident que, par raison de symétrie, Hf est nulle.

Discontinuité de l'attraction cjuand le point m traverse la surface attirante. — Si l'on prend deux positions m et m' du point attiré inliniment rapprochées de la surface S et symétriques l'une de l'autre par rapport au plan de celte surface, on voit que les composantes il; et 11^ de l'attraction sur ces deux points sont identiques, par raison de symétrie ; mais les coinj)osantes 11^ etH^^