CHAPITRE XXXVU. — SUR LA THEORIE DE L'ÉLASTICITÉ

Nous avons donc obtenu un déplacement particulier (29) remplissant toutes les conditions; dans ce déplacement, l'origine est fixe et chaque point P du milieu se déplace suivant le rayon PO d'une quantité proportionnelle à PO. Les nouvelles |)Ositions des points du milieu sont donc homotliétiques des anciennes par rapport à O."

Le système de déplacements le plus général vérifiant les conditions données s'obtient en composant le système particulier que nous venons de définir avec une translation et une rotation d'ensemble. On peut donc dire qu'après la compression le système devient semblable à ce cju'il était primitivement.

Coefficient de compressibilité . — Imaginons un corps homogène isotrope de volume V soumis à une compression normale et uniforme P : le volume V change et devient V — oV. La quantité

s'appelle le coefficient de compressibilité. On peut exprimer ce

coefficient à l'aide des constantes À et a.. En effet, — :^j— est le

coefficient de dilatation cubique 9, qui est ici négatif si l'on suppose 3)\+ 2 a positif; on a alors, d'après (3o),

P ^~ T ^ 3 X + 2 ij.

807. Exemple II : Extension longitudinale d'un cylindre droit à base quelconque par des tractions uniformes exercées sur les bases ('). — Soit un cylindre droit dont les génératrices sont parallèles à l'axe O^, Pune des bases étant dans le plan des xy et l'autre ayant une cote :; = H égale à la hauteur du cylindre.

Supposons qu'aucune force extérieure n'agisse sur les éléments superficiels de la surface latérale, mais appliquons à chaque élément di des deux bases une traction F d'y normale à cet élément, dirigée vers l'extérieur de façon à allonger le cylindre, F étant

( ') Lamé, Leçons sur la théorie mathématique de t'étasticité des corps sotides.

une constante appelée traction par unité de surface. Le cylindre prend un état d'équilibre contraint.

Les déplacements u, v, w des divers points doivent satisfaire aux équations indéfinies et aux conditions à la surface que nous allons énumérer.

Surface latérale. — Comme sur cette surface la force extérieure X^, Ye, Ze est nulle et que le cosinus y de l'angle de la normale extérieure avec O^ est nul aussi, les conditions (22) deviennent

Bases. — Sur la base :; = o, la force extérieure est F<;/a- et ses projections sont 0,0, — Ydrx] d'ailleurs, les cosinus directeurs de la normale extérieure sont a = ^i ^^ o, y := — i. Les équations ( 22) donnent donc

Ti = T2 = 0, — F — N3 = 0.

Sur la deuxième base ^=H, on a Xe = Ye = o, Z^. = F,

a = [j = o, v^ I, et les équations (22) donnent les conditions

(32) T, =To = o, F-N3 = o

identiques aux précédentes.

Le problème étant ainsi posé, on peut satisfaire à toutes les conditions à l'aide du déplacement particulier

(33) M = ax, y = ay, -w = cz [a el c constants), dérivant de la fonction

La valeur correspondante de H est

et les équations indéfinies sont évidemment satisfaites.

Les expressions (18) donnant les valeurs des NetT en fonction