CHAPITRE XXXVIl. - SUR LA THEORIE DE l'ÉLASTICITÉ
des u, V, w deviennent acluellement
N, =r3N.2= — X(2a--c) — 2[jia, ^3 = — X ( 2 a -I- c ) — 2 n c, ■
Exprimons alors que les conditions aux limites sont vérifiées. Sur la surface latérale, on doit avoir les conditions (3i); comme les T sont nuls, ces conditions se réduisent à N, =N.. =:o, c'est-à-dire à
^^^^ ^(2« H- C) + 2|JLrt = O.
Sur les bases on a — N3 =z F, c'est-à-dire
(^^) >'^(2a-Hc)-H2[Jic = F.
Ces deux équations déterminent, en l'onction des données, les valeurs des constantes a el c :
Il 3 X -T- 2 [ji "
La constante a étant négative en supposant )v[jl(3X . ^ .. ^ ^ (n° 800), le cylindre se contracte latéralement en même' temps qu'il s'allonge.
Nous avons ainsi obtenu un système de déplacements particuliers remplissant toutes les conditions du problème. Le système de déplacements le plus général répondant à la question s'obtient en composant le système précédent avec un déplacement d'ensemble du cylindre.
En introduisant dans ces formules (36) le nombre ^ = ^' ^ ,
on voit que les constantes a et c deviendraient infinies pour r I
Coeficient cV élasticité . — Soit un cylindre de hauteur H, soumis sur ses bases à une traction uniforme ayant pour intensité F par unité de surface. Ce cylindre s'allonge de oH ; le coefficient d'élasticité ou module de Young est le rapport
Le résultat précédent permet d'exprimer ce coefficient en fonction de ). et iK. En effet, dans les formules précédentes, les points du plan ^ = G restent dans ce plan, un point du cylindre de cote z subit, dans le sens des génératrices, un déplacement w = cz; un point de la base ^ = H subit donc un déplacement dans le sens des génératrices égal à cH. C'est là l'allongement oH du cjlindre :
On a donc, d'après (36),
^ FH F 3X + 2a
En comparant ce coefficient au coefficient de compressibilité q du numéro précédent, on voit que
le deuxième membre de cette relation se réduit à j dans l'hjpoihèse de Cauchy X = <j..
Rapport de la conlr action transversale à La dilatation longitudinale. — Ce rapport est égal à — ■ — ; d'après les formules (36) sa valeur est
Dans l'hypothèse de Cauchy À = a, on aurait pour le rapport la valeur | donnée par Poisson.
808. Exemple III : Équilibre d'une couche cylindrique. — Soit un solide homogène et isotrope limité par deux cylindres de révolution concentriques et par deux plans perpendiculaires aux arêtes. Ce solide est soumis, sur chacune des surfaces cylindriques, à une pression normale et uniforme et, sur chacune des bases, à une traction parallèle aux arêtes; on se propose de déterminer l'état d'équilibre (').
(') Voir Lamé, Leçons sur la théorie mathématique de l'élasticité des corps solides, et Cours de M. Sarrau à l'École Polytechnique, i" Division, 1S99-1900 (feuille 70).
