CIIAPITKE \XI\. — ATTRACTION. POTENTIEL

de Riemann, Scluvere, Electrlcilat und Magnetismus. Traçons sur la surface, autour du point A, une courbe fermée détachant une aire très petite S,. La surface S est ainsi partagée en deux parties S, et So==S — S,. L'attraction de S sur un point quelconque P est la somme géométrique des attractions H, et H2 de S, et So. Quand le point attiré P va de m en m' ^ Tattraction H. de S2 varie d'une manière continue, car P ne traverse pas So : les composantes normales de Ho aux points m et m' diffèrent donc infiniment peu. La petite surface S, peut être regardée comme une aire plane située dans le plan tangent en A et ayant une densité constante p : en lui appliquant le résultat démontré pour l'attraction d'une aire plane (n° 567), on voit que, P allant de ni en }n\ la composante normale de H, diminue de 4'^p/' L)onc la composante normale de H, somme des composantes normales de H, et Ho, diminue de ^T^of.

Cette propriété a été entrevue par Coulomb, précisée par Poisson et démontrée rigoureusement par Laplace etCauchy.

570. Aimant élémentaire. — On appelle aimant élémentaire un aimant dont les dimensions peuvent être regardées comme infiniment petites par rapport aux dimensions du champ dans lequel on étudie son action. Les aimants élémentaires sont supposés avoir la forme de cylindres droits avec les pôles concentrés sur les bases. Soient m la masse magnétique répandue sur le pôle N,

— m celle du pôle S, s la longueur de l'aimant; considérons une masse magnétique égale à l'unité positive placée en P, à des distances /-et r' des pôles S et N. Le potentiel magnétique en P est

'^ m m m m(r — r') .^à r r r rr

Comme la longueur s de Taimant est infinimenl petite par rapport auK distances /'et /■', le produit//-' est sensiblement égal à /'-; d'autre part, si l'on décrit un arc de cercle NA de P comme centre avec PN comme rayon, le triangle SNA rectangle en Adonne

SA = r — r' = £ cos6,

f) étant l'angle de l'axe de l'aimant pris dans le sens SiN avec la droite qui joint l'aimant au point P. Donc

/nîcosB /•-

On peut aussi exprimer ce résultai de la façon suivante : Ecrivons

/•' /■ U =--im — -__ — :

le facteur est l'accroissement A- de la fonction - quand

on passe du point S au point voisin N situé à une distance s de S. Comme t est supposé infinimenl petit, le rapport -A - est la dérivée de - prise dans le sens SN, c'est-à-dire suivant la normale menée à la base S du côté de N. Si nous désignons cette dérivée par

/■ —7— 1 nous aurons an

dn

La droite SN est Taxe de l'aimaul élémentaire, et la quantité tm son moment. Cette notion est due à Poisson. Si l'on appelle a, |j, Y les cosinus des angles que fait Taxe SN avec les axes, on a

Dans cette expression, a, |ii, y sont des constantes. Cette fonction, étant un potentiel dû à des attractions en raison inverse du carré de la distance, satisfait à l'équation de Laplace en dehoi's de l'ai-