III. - VOLUMES
57o. Composantes de l'attraction. Potentiel. — Soil un volume Uni V limite par une sui'face fermée S. Désignons par d- un élément du volume placé au point («, 6, c) et par dm la masse de cet
élément : le rapport -j^ = p s'appelle la densité de la masse attirante au point (a, 6, c); cette densité est une fonction de a, b, c
que nous supposons continue dans la masse. Si p est constant, la masse attirante est homogène.
Considérons un point P de masse i ayant pour coordonnées x, )-, z\ soit /• la distance de P à l'élément dm. Les composantes X, 1, Z de l'attraction K du volume sur le point P sont données par les intégrales triples
^^-^ifi-^^"-
^-^ffi'^'"-
c'est ce qui résulte des formules générales données au n° S60, où
dm^= 0 d-z. L'indice V signifie que les intégrales triples soni
étendues au volume attirant V. Les variables d'intégration sont a,
b^ c, de sorte que
dz = da db de.
Si l'on considère le potentiel
/•désignant la distance y/(a — ^)--i- (6 — yY^^ (^ — ^)'i ^"^ ^^it qu'on peut écrire
•' dx '' dy •' dz
IIL 5
(Jes formules résultent, sans difficulté, des règles de dilTérentia-
tion sous le signe / , tant que le point P est extérieur à la niasse
attirante, car, dans ce cas, /• ne s'annule pour aucun système de valeurs de a, 6, c et tous les éléments des intégrales restent finis. Pour la même raison, les fonctions U, X, Y, Z admettent des dérivées de tous les ordres par rapport k x^ y^ z- en dehors de la masse attirante. Mais, comme l'a montré Gauss, il faut examiner de plus près ce qui se passe à cet égard quand le point attiré P est dans la masse attirante.
576. Cas où le point P est dans la masse attirante. — Nous allons démontrer les propositions suivantes.
i" Les fonctions U, X, Y, Z sont finies et déterminées quelle que soit la position du point attiré P;
2" La fonction U admet dans tout Vespace des déri^'ées premières et les relations (3) subsistent quelle que soit la position du point P; il en résulte cjue la fonction U est continue dans tout l'espace;
3" Les fonctions X, Y, Z admettent, dans tout l'espace des dérivées premières, ou, ce qui revient au même, la fonction U admet dans tout V espace des dérivées secondes; il en résulte que les fonctions IL, Y , Z sont continues dans tout l'espace;
4" Les dérivées secondes de U sont discontinues quand le point P traverse la surface du volume attirant.
o77. Les fonctions U, X, Y, Z restent finies et bien déterminées dans la masse attirante. - — Supj)Osons le point attiré P(.r, y, z) dans la masse attirante. Prenons un système de coordonnées polaires dans l'espace ayant le point P comme origine. Imaginons, par P, trois axes Px' , Pjk'j Ps' parallèles à Ox, O y, Oz, et définissons la position d'un point m de l'espace par la distance Pm = /', l'angle 9 de V m avec V z' et l'angle o du plan z'Pm avec z'Px' . Les coordonnées «, ^, c du point m s'expriment alors en fonction de /\ 0, o par les formules
a — X ~ /• sin 0 oos<p.
b --y ^~- r sin 0 sin'.i.
c — z == r cosO.
CIIAriTUK WIX. — ATTRACTION. POTENTIEL. 67
Dans ce système de coordonnées, un élément ch de volume a
pour expression
di = r- dr sinO <iO f/cp,
car cet élément de volume peut être assimilé à un parallélépipède rectangle ayant pour arêtes dr, r d^ et ;• sin9 f/'.p ; il est, en effet, compris d'abord entre deux sphères décrites de l'origine comme centre, avec r et r ^ dr pour rayons; ensuite entre deux plans passant par l'axe des z' et faisant entre eux un angle égal à <:/<p; enfin entre deux cônes de révolution autour de l'axe des z' avant leur sommet à l'origine et dont les génératrices font avec l'axe les angles 8 et 9 + d^.
Les expressions de X, Y, Z, U deviennent alors
X — f I I I p d/- sin^O coscp dO c/tp,
Y = f f f fp dr sin2 e sin cp dO do. (II) / JJJ
Z = / f f fp dr sin 6 ces G f/0 do,
U =. f f fprdrsin^d^d^.
Ces intégrales ont letu's éléments finis et, comme elles sont étendues à des valeurs finies de r, G et o, elles ont elles-mêmes des valeurs finies et bien déterminées.
578. Les relations X=f—, • • • subsistent dans le volume atti-
rant. — Le point attiré P étant dans la masse attirante, considérons autour du point P un petit volume V, ; le volume attirant total V est ainsi décomposé en deux parties, l'une V, et l'autre Vo^ V — V). Soient Ui et U-i les potentiels de ces deux volumes en P, X,, Y|, Zi les composantes de l'attraction du volume V) au point P et Xo, Yo, Zo celles de l'attraction du volume Vo au même point. On a évidemment
U = Ui+U,, X = \i+X.2,
Soient, dans le volume V| , un deuxième point P' de coordonnées ^ + A.r, j», ;:, obtenu en déplaçant P parallèlement à 0.r, U' la valeur du potentiel total au point P', U'^ et U'., les valeurs des
potentiels des volumes V( etVo. On a
S.X Ix ù^x
Quand P' tend vers P, le rapport — ^-— — ? tend vers -^ Xo, car le
point P étant extérieur au volume Vo, on a
■' dx
Etudions le rapport — — ^ ■ En désignant par ;• et ;' les distances d'un point variable m du volume A i aux points P et P', on a
Or la valeur absolue de -r—\—, ) est moindre que — ,-, car,
A x \r r / 1 rr
dans le triangle PmP', la valeur absolue de \x est supérieure à celle de /' — r; d'autre part, il est évident que -77, est moindre
que -(-^H — jô)* Si nous appelons enfin p, le maximum de 0 dans U,, on a donc
où le premier membre signifie valeur absolue de — — ^•
En prenant un système de coordonnées polaires ayant P comme origine, on a, pour la première intégrale ci-dessus,
Les angles H et '^ étant choisis, la direction correspondante rencontre la surface limitant Vi en un point dont la distance à P estR; on a donc, en intégrant d'abord par rapport à /• de o à R, puis par
