piC

Ainsi, dans la formule

u'— u u; — Ui u; — U2

Aa? Aa? Aa;

quand Lx tend vers zéro, le deuxième rapport du deuxième

jnembre tend vers j Xo et le premier reste en valeur absolue

moindre que 4"?^?) C On peut prendre V, assez petit pour que C soit plus petit que tout nombre donné, et pour que X2 diffère de X

aussi peu qu'on le veut : donc - ~" tend vers -^X et l'on peut

encore écrire

On voit, de même, que les deux autres formules (3) subsistent. La fonction U ayant des dérivées premières en tous les points de l'espace est continue partout.

579. Dérivées secondes du potentiel : i" Point extérieur. — Quand le point P est extérieur aux masses attirantes, on a immé-

Jiatement par la règle de diffërenliation sous le signe /

Ces dérivées sont finies et continues tant que P est en dehors de la masse attirante. En les ajoutant, on trouve que la quantité sous le signe d intégration est identiquement nulle et on obtient ï équation de Laplace {point extérieur)

ôx- Oj- Oz-

a" Point intérieur. — Quand le point P est intérieur au volume attirant, on ne peut plus calculer les dérivées secondes par

la règle de la différentiation sous le signe / . Cela tient à ce que

les intégrales ( 5 ) auxquelles conduit l'application de cette règle

n^ ont plus de sens à cause du facteur - qui devient infini; c est ce

qu'on vérifierait en prenant encore des coordonnées polaires d'origine P. Il ne faut pas conclure de là que les dérivées secondes n'existent plus dans ce cas, mais seulement qu'elles ne sont plus exprimées par les formules (5). Nous allons voir que ces dérivées continuent à exister, nous en donnerons l'expression, puis nous montrerons qu'elles ne vérifient plus l'équation de Laplace, mais une autre équation appelée équation de Poisson.

D'après ce que nous avons vu plus haut, on a toujours

p et r sont des fonctions de a, h, c; on peut écrire

OX J J ..'. da . . ./.. r Oa

car

Oa

do /•3 '" ~ ^ Oa Oa r da