CHAPITRE XXIX. — ATTRACTION. POTENTIEL. 7I
Appliquons à la première de ces intégrales la foi^auile de Green (n" 534). Pour cela remarquons que la fonction - de a, b^ c devient infinie dans le volume V quand le point «, b, c coïncide avec P. Entourons alors le point P d'une sphère 5 de ra yon très petit î; nous pouvons appliquer la formule de Green au volume V — s compris entre la surface S et la surface s de la sphère : nous aurons
— ^ — - da db de ~ \ l - ol d<y -— l / - a du,
, oa J J^ r J J^ r
où nous désignons par «, 6, clés variables d'intégration. Quand le rayon e de la sphère s tend vers zéro, l'intégrale double étendue à l'aire s tend vers zéro, car dans cette intégrale i- = £, cli^^z- dhi en appelant chù l'ouverture du cône ayant pour sommet P et pour base un élément d'y de .s ; ce qui montre que s se met en facteur. La formule de Green donne donc, en faisant tendre e vers zéro,
d'où l'on conclut
la première intégrale étant étendue à la surface limite et a désignant le cosinus de la normale extérieure avec Ox. Cette première intégrale peut être interprétée comme étant le potentiel d'une simple couche de densité superficielle pa répandue sur la surface S limitant le volume attirant V. La deuxième peut également être interprétée comme le potentiel du même volume, dans
do
lequel la densité de l'élément d-z au lieu d'être o serait ^•
D'après ce qui précède, ces deux intégrales ont chacune une dérivée partielle par rapport à x, dérivée que l'on peut obtenir
par la règle de différentiation sous le signe / . On a ainsi
■fr-:>^---m'^^'i''-
Un trouverait de même -v-v ^r-r •
Ces dérivées secondes sont continues dans le volume : mais elles subissent une variation brusque quand le point P franchit la surface S, comme nous le verrons plus loin.
580. Flux de force. Théorème de Gauss- ^Nous venons de voir que l'attraction K d'une masse continue sur un point de masse i placé au point P(x,y, z-) est Unie et déterminée quel que soit P, el qu'elle dérive d'une fonction de forces fU.
On peut alors étendre au champ de forces ainsi défini toutes les définitions antérieures relatives au flux de force. Le flux de force total à travers une surface S est
fli-'-'-'fJIJi"^-
la dérivée -, étant prise suivant la normale menée dans le sens an i
dans lequel on estime positivement le flux.
On peut également étendre au cas actuel le théorème de Gauss
démontré au n° 5o6 pour l'attraction de points isolés.
Soit S une surface fermée quelconque, M' la portion de masse attirante située clans cette surface ; le flux de force à traders cette surface de l' intérieur vers V extérieur est
lin cV autres termes, on a
dV
Ji
^ dn = -^TM'.
an
la dérivée étant prise suivant la normale extérieure.
Décomposons le volume attirant en volumes élémentaires, par <;xemple en ])etits cubes, au moyen de plans parallèles aux plans de coordonnées. Remplaçons ensuite chacun de ces cubes par un point de même masse que lui placé en son centre de gravité. Soit K' le champ de forces dû à ces masses isolées. D'après le théorème de Gauss (n" 556), le (lux à travers une surface fermée
