CHAPITRE XXIX. — ATTRACTION. POTENTIEL
quelconque I! est donné par la formule
M' étant la masse totale des points attirants situés dans S. Si maintenant on fait croître indéfiniment le nombre des cubes élémentaires, de façon que le volume de chacun d'eux tende vers zéro, K' tend vers l'attraction R due aux masses continues et la formule devient
M' étant la masse attirante totale contenue dans S.
Le même raisonnement étend la formule du flux de force à l'attraction d'une ligne ou d'une surface.
De ce théorème résulte, comme au n" 557, le théorème de la conservation du flux dans un tube de force.
581. Équation de Poisson. — Le théorème de Gauss sur le flux de force conduit immédiatement à l'équation de Poisson. Soit dans la niasse attirante une surface fermée quelconque S, on a
(6) fJl^d, = -i.W.
M' désignant la masse contenue dans S et -j— la dérivée du potentiel suivant la normale extérieure. Soit V le volume limité par S, on a évidemment
'-Jfb"--
OÙ
p = J;(a7, jK -2 ), dz — dx dy dz^
l'intégration étant étendue au volume V. D'autre part, la formule de Green donne
L'équation (6) s'écrit donc
OU
fff(M]-/iT.p)d- = o.
Celle intégrale esl nulle quelque soit le volume \' considéré dans rinléiMeur de la masse alliranle : donc l'élément différentiel est identiquement nul et l on a
AU = — 4 T.z, {^équation de Poisson, point intérieur)^
~dx^ ~~ ~dj^ " "dz^ - — 4 îîp,
p étant la densité au point .r, y. z.
C'est là l'équation de Poisson. On peut dire qu elle comprend comme cas particulier l'équation de Laplace, car si le point ^, y, z est extérieur à la masse attirante, p esl nul en ce point, el
l'on a
AU = o.
o82. Discontinuité des dérivées secondes de U. - On voit que les dérivées secondes de U sont nécessairement discontinues quand le point P traverse la surface qui limite le volume attirant. Car la quantité AU, qui est nulle tant que P est extérieur, devient brusquement égale à — 4~p quand P pénètre dans le volume.
583. Équilibre électrique d'un corps conducteur. - Soit un corps conducteur isolé, chargé d'une certaine quantité d'électricité et mis en présence d'autres corps électrisés. Si l'électricité est en équilibre, une molécule de fluide positif à l'intérieur du corps ne doit être sollicitée par aucune force, car, par hypothèse, cette molécule peut se mouvoir dans tous les sens. Appelons U le potentiel dû à l'attraction des masses électriques considérées : à l'intérieur du conducteur, la force est nulle, donc
OU
ou
OU
rri O
Ox
djr
dz
il en résulte que L est constant dans l'intérieur du conducteur :
l'équation de Poisson,
AU = — 4-p
CIIAPITRK XXIX. — ATTRACTION. POTENTIEL. yj
montre alors que la densité électrique p est nulle dans l'intérieur du conducteur, car AU est nul.
L'électricité se porte donc à la surface du conducteur.
En deliors du conducteur, le potentiel U devient variable, mais, à cause de la continuité du potentiel, U est constant sur la surface du conducteur : cette surface est donc une surface de niveau et la force en chacun de ses points lui est normale. Les tubes de force partent donc de la surface du conducteur, normalement à cette surface.
Densité électricjue superficielle. Formule de Coulomb. — Appelons ij. la densité superficielle de la couche électrique en équilibre sur la surface S du conducteur. Pix'nons sur S un élément superficiel drr et menons le tube de force ayant pour seclion d<7 : ce tube est orthogonabà S, puisque S est une surface de niveau. Menons une section droite <ia-, de ce tube infiniment voisine de ch et appelons K, la valeur de la force en dcr, , force qui est
normale à f/cr, et égale à — k -j~ , la dérivée -^ étant prise sui-
van t la normale à f/o-, , et k désignant le coefficient d'attraction électrique (n°551). Puis prolongeons ce tube àfintérieur du conducteur et fermons-le par une section <:/cro. Appliquons ensuite le
Fig. 297.
ci a.
théorème du flux de force au volume ainsi limité. Le flux a travers les parois latérales du tube est nul; à travers d^s^,-, il est nul également, car la force est nulle dans le conducteur; enfin, à travers d'y^ , il est K, <:/3-| .
D'autre part, la masse contenue dans le petit volume considéré est [xd'7. On a donc
Kl f/ji = 4^^ [^ d'^,
car, en passant de l'attraction de New ton à l'attraction électrique, il faut remplacer/ par — k (n" 531).
Si la section r/T, se rapproche indéfiniment de cln^ R( tend
vers la force K en dn, — ,— tend vers i et l'on a as
K = [\iik\s..
C'est la formule de Coulomb.
En appelant -j- la dérivée de U prise suivant la normale extérieure à c/s-, cette formule équivaut à
du
58 i. Calcul de l'attraction d'un corps sur un point très éloigné. — Soit P {^fig' 298) le point attiré que nous supposons très éloigné, m un point de la masse attirante de coordonnées a, 6, c
La fonction potentielle a pour expression
--im
l'intégration étant étendue à tout le volume.
Fig. 298.
Prenons, dans la masse attirante, un point quelconque O comme origine des coordonnées; dans le triangle /?zOP on a, en posant
mO = o, mbP = Y, OP = R,
/■2= l\t — 2R0 CCS Y -t- 0^.
Quand le point m occupe successivement toutes les positions dans la masse attirante, 0 reste inférieur à un certain maximum; R est supposé supérieur à ce maximum.
