CHAPITRE XXIX. — ATTRACTIOX. POTEXTIEL

On peut écrire

Développons la parenthèse par la Ib rmulc du binôme

OÙ

nous aurons, en ordonnant par rapport a j^.

r=R-^RÏ^"^^^R^.^^''"^^""'^ •• ■ Dans ce développement, le coefficient de ^^ est un polynôme en cosy, P«(cosy), qui se nomme polynôme de Legendre. En nous bornant, dans ce développement, aux trois premiers termes, nous aurons

où £ reste fini quand R augmente indéfiniment. En remplaçant par cette expression dans la valeur du potentiel U, on obtient les premiers termes du développement de U suivant les puissances

de-- Pour écrire ces premiers termes, nous imaginerons qu'on

R prenne OP pour axe des jc : les coordonnées de m sont alors a,

b, c et l'on a

rt = 0 cosy.

h restant fini quand R augmente indéfiniment.

Toutes ces intégrales triples sont étendues à la masse attirante; elles ont des significations simples. La première est évidemment

la masse tolale

La deuxième a pour valeur M;, en appelant ç l'abscisse du centre de gravité G de la masse attirante

JJ faoch^Ml;

en effet a est l'abscisse de la masse élémentaire p ch. Pour évaluer la troisième intégrale, remarquons que

cette intégrale est donc

/ / I {ici- — b- — c-)pch.

Or les moments d'inertie de la masse attirante par rapport au point O et à l'axe OP sont

l'intégrale considérée est donc

aOlto — 3 I.

Le développement de U est ainsi

^~> R "^ R^ ' 2RÎ "^ Rï'

formule fréquemment employée en Mécanique céleste.

Dans cette formule, ç est la projection du vecteur OG sur 01*. Quant à Dlio, en appelant A, B, G les moments d'inertie de la masse attirante par rapport à trois axes rectangulaires quelconques menés par O, on a pour le moment d'inertie par rapport au point O (n-'SU)

Si l'on [)rcnd le point O au centre de gravité G, Pv. désigne la distance GP, on a ^ r^ o et la formule devient