Objet de ce paragraphe. — L'équation de Laplace

AU - — -^ — ^ ^ - (kr- ' ()y- (Jz.-

joue un rôle très important en Physique où elle se rencontre dan.*? les questions suivantes : l'attraction, l'électricité statique et dynamique, le magnétisme, la propagation de la chaleur, l'hvdrodynamique.

Nous venons de voir, en effet, que le potentiel dû à Fatlraction newtonienne, ou à l'aliraction de masses électriques ou magnétiques vérifie l'équation de Laplace en dehors des masses attirantes; en outre ce potentiel est nul à l'infini. Le flux de force se dirige dans le sens du potentiel croissant s'il s'agit de l'attraction de Newton, et dans le sens du potentiel décroissant s'il s'agit des attractions électriques ou magnétiques.

D;ins la théorie de la propagation de la chaleur, d'après Fourier, on rencontre également l'équation de Laplace. Imaginons en effet uu milieu conducteur de la chaleur, homogène et isotrope, c'est-à-dire jouissant des mêmes propriétés dans toutes les directions. Supposons ce milieu limité par des surfaces maintenues à des températures, constantes en chaque point, mais pouvant varier d'une manière continue d'un point à l'autre des surfaces limites. Il s'établit alors un équilibre de température dans ce milieu : une fois cet équilibre atteint, la température Uen chaque point du milieu est une fonction des coordonnées x, y, z vérifiant l'équation AU= o. Les surfaces U = const. s'appellent alors surfaces isotlieimes. Le llux de chaleur à travers un élément ch du milieu marche dans le sens des températures décroissantes et son

expression est — A- -7- c/t, A' élant le coefficient de conclue lihilité

du milieu el -7— la dérivée de U prise normalemenl à l'élément. Si

an ^

le milieu conducteur est illimité, l'action des sources de chaleur ne se fait pas sentir à l'infini.

Enfin, en Hydrodynamique, on rencontre la même équation dans les conditions suivantes : Imaginons un liquide animé d'un mouvement permanent dans une certaine région de l'espace. Alors les molécules liquides qui passent successivement en un point géométrique déterminé x, y, ^ j passent avec une vitesse constamment la même : soient z/, i', w les projections de cette vitesse; ces quantités sont des fonctions de .r, y, z vérifiant la condition d'incompressibilité

du dv div

^ ^ dcc dy éz '

que nous établirons plus tard. Supposons que ces vitesses dérivent d'un potentiel U, cest-à-dire que l'on ait

dU dU dU

ax oy oz

alors la fonction U est, d'après (i), assujettie à vérifier l'équation de Laplace AL = o, dans toute la masse liquide. Les lignes de force sont ici remplacées par les trajectoires des molécules. Le flux de force à travers un élément cly est remplacé par le volume du liquide traversant cet élément pendant l'unité de temps

dn

Chaque propriété des fonctions vérifiant l'équation AU = o pourra être interprétée dans ces trois ordres de phénomènes. Inversement, certaines propriétés des fonctions vérifiant cette équation peuvent devenir intuitives, suivant qu'on les interprète de l'une ou l'autre façon.

Nous allons indiquer les propriétés les plus importantes des fonctions vérifiant l'équation AU = o, fonctions que nous appelle-