CHAPITRE XXIX. — ATTRACTION. POTENTIEL
rons, pour abréger, /oncf ions harmoniques. l^oiisnons bornerons, sauf mention expresse du contraire, aux fonctions uniformes.
587. Signification de AU. — D'après le théorème de Green (n" 538), où Ton l'ail 'f = 1 1 '^ = U, on a pour un volume quelconque, clans lequel U est finie ainsi c[ue ses dérivées preiuières et secondes
En particulier, si le volume \ est un voUime infiniment petit <iT entourant un point (x, y., ^) la première intégrale comprend un seul élément et Ton a
^--Uit"-
ce qui donne une signification de AU indépendante du choix des axes. La c[uantité AU est donc une fonction invariante pour toutes les transformations de coordonnées orthogonales : c'est, d'après Lamé, un paramètre difTérentiel.
Si la fonction U est harmonique dans un volume donné V et reste finie ainsi que ses dérivées premières et secondes dans ce volume, on a, d'après (2),
Ht'--
Cette dernière équation signifie c[ue le flux à travers la surface S est nul; c'est ce C[ue nous avons déjà vu (n'' 545).
588. Absence de maximum et de minimum. — L'écjuation c[ue nous venons d'écrire permet d'établir le théorème suivant :
Une fonction harmonique, finie ainsi que ses dérivées premières et secondes dans un volume, n\i, dans ce volume, ni maximum ni minimum.
Soit P un point quelconque du volume, nous allons montrer qu'il est absurde de supposer que U est maximum en ce point. En effet, décrivons de P comme centre une sphère de rajon \\
84 lÏQUlLlBRE ET MOLVEMEXT DES .MILIEUX CONTINUS.
assez petit pour que celle splière soit tout entière dans le volume. Le théorème précédent, appliqué à celle sphère, donne
l'intégrale étant étendue à la surface de la sphère et la dérivée de U étant prise suivant la normale extérieure, c'esl-à-dire suivant le ravon prolongé. Celte intégrale doit être nulle quelque petit que soit R : or, si la fonction U était maximum en P, elle devrait diminuer quand on s'éloigne de P dans une direction quelconque;
toutes les valeurs de -j- aux divers points de la surface sphériqut-
seraient donc négatives et la somme des produits -j—di serait
négative et non nulle. Il n'y a donc pas de maximum de U en P. De même, il n'y a pas de minimum.
Si U désigne un polenliel dû à rattraclion newtonienne ou à des attractions électriques ou magnétiques, le résultat précédent s'énonce ainsi : Le potentiel n'a ni maximum ni minimum en dehors des masses attirantes. D'après la réciproque du théorème de Dirichlet (n° 4o4), on voit qu'il ne peut exister de position d'équilibre stable pour un point attiré, entièrement libre, eu dehors des masses attirantes.
Au sujet de cette réciproque, il nous faut compléter et rectifier les citations faites dans le deuxième Volume, n° 4oi, ]). 354- La démonstration de la réciproque du théorème de Dirichlet a été donnée pour un cas très étendu par M. IJva^^ouno^ [Journal de Mathématiques, 1896). Elle a été donnée également par M. Hadamard dans un Mémoire pi'ésenté à l'Académie en 1896 et publié depuis dans le même Recueil (189^).
08O. Une fonction harmonique ne peut pas avoir sur une surface, sur une ligne ou dans un volume, une valeur constante plus grande ou plus petite que toutes les valeurs voisines. — Soit, comme précédemment U, une fonction harmonif|ue uniforme finie ainsi que ses dérivées premières et secondes dans une certaine région de l'espace. Il est impossible que, dans cette région, il existe une surface S sur laquelle U prenne une valeur constante plus grande (ou plus petite) qu'en tous les points voisins situés de part et
