CHAPITRE XXIX. — ATTRACTION. POTENTIEL

d'autre. En effet, s'il en était ainsi, on pourrait, d'un point quelconque A de cette surface comme centre, décrire une sphère d'un

rayon assez petit pour que, sur cette sphère, -j— ait un signe constant, excepté peut-être le long de la ligne d'intersection de la sphère et de la surface où--|— pourrait être nul. En effet, si U, est,

sur la surface, phis grand que dans le voisinage, U décroît quand on s'éloigne de A dans une direction quelconque, sauf pour les directions situées sur la surface pour lesquelles U est constant. Mais alors l'intéffrale

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étendue à la surface de cette sphère serait différente de zéro, car tous les éléments auraient un signe constant; ce qui est en contradiction avec l'équation (4)-

On voit de même qu'il est impossible que, le long d'une ligne, U ail une valeur constante plus grande (ou plus petite) que les valeurs aux points voisins.

Enfin, il est impossible que, dans la région considérée de l'espace, il y ait un volume v dans lequel U serait constant, de telle façon que dans le voisinage immédiat de v, U soit constamment plus grand (ou plus petit) que dans v. En effet, s'il en était ainsi, en prenant un point quelconque A sur la surface s limite de r, et décrivant de ce point comme centre une sphère d'un rayon suffisamment petit, on aurait :

1° Sur la portion de surface sphérique extérieure à c, pour

-7— un signe constant, an °

2" our la portion intérieure ->— = o.

L'intégrale (5) étendue à l'aire de cette sphère ne serait donc pas nulle, ce qui est en contradiction avec l'équation (4).

590. Fonction harmonique nulle sur une surface fermée. — On conclut, de ce qui précède, le théorème suivant :

Si une fonction harmonique U est uniforme, finie ainsi que ses dérivées premières et deuxièmes dans un volume V, et

prend la valeur zéro sur la surface limite S, elle est nulle dans tout le volume.

En effet, si la fonction n'était pas nulle en tous les points du volume, parmi les valeurs qu'elle prendrait dans le volume il y en aurait une C qui serait ou plus grande ou plus petite que toutes les autres. Le lieu des points pour lesquels on aurait

se composerait ou de points isolés, ou de lignes, ou de surfaces, ou de volumes. Dans le premier cas, la fonction serait maximum ou minimum en un point, ce qui est impossible. Dans les autres cas, la fonction aurait, sur une ligne, une surface ou, dans un volume, une valeur constante plus grande (ou plus petite) que toutes les valeurs voisines; ce qui est également impossible. Donc la fonction U est nulle.

Dans ce théorème, le volume considéré V a une forme quelconque : par exemple, la forme d'un tore, ou du volume compris entre une sphère et une sphère intérieure, etc.

Cas d'un volume indéfini. — Un théorème analogue a lieu pour les fonctions harmoniques à l'extérieur d'une surface fermée donnée :

Si une fonction harmonique U reste finie ainsi cjue ses dérivées premières et secondes à l'extérieur d' une surface fermée donnée S, si de plus celte fonction prend la valeur zéro sur S et s'annule à V infini, la fonction U est nulle dans tout l'espace considéré.

En effet, si la fonction U n'était pas constante dans le volume indéfini considéré, il existerait dans ce volume soit des points, soit des lignes ou des surfaces, soit des volumes où la fonction prendrait une valeur constante plus grande (ou plus petite) que les valeurs voisines. Ce qui est impossible. Donc U = o dans tout le volume.

Conséquence :

Si deux fondions harmoniciues U| et X]^ finies ainsi que leurs dérivées premières et secondes dans un volume donné V

niAPlTRK \\I\. — ATTRACTION. POTENTIEL. 87

prennent sur la surface limite les mêmes valeurs, elles sont identiques clans l'intérieur du volume.

En effet, la tlifrérence U, — Uo est une fonction harmonique finie ainsi que ses dérivées dans le volume V et s'annulant sur la surface. D'après le théorème précédent, cette différence est nulle dans tout le volume.

Un théorème analogue a lieu pour un volume indéfini situé à l'extérieur d'une surface fermée i], à condition que U| — Uo s'annide sur la surface S et à Tinfini.

591 . Une fonction harmonique uniforme finie et déterminée ainsi que ses dérivées premières et deuxièmes en tous les points de l'espace, à distance finie ou infinie, est une constante. — Imaginons une fonction harmonique U, finie ainsi que ses dérivées premières et deuxièmes dans tout l'espace, et prenant une valeur finie déterminée quand le point x^ y, z s'éloigne indéfiniment suivant une loi quelconque. Cette fonction U(.r, j', ^), si elle n'est pas constante, a nécessairement un maximum et un minimum. Le maximum, par exemple, peut être atteint à l'infini; mais alors le minimum est à distance finie. SoitC la valeur minimum de U. Le lieu des points tels que U(j:',y, ^ > =^ C peut se composer de points isolés, ou de lignes, ou de surfaces, ou de volumes. Mais cela est impossible, d'après les théorèmes des n'"* 088 et o89; la fonction est donc une constante.

592. Détermination d'une fonction harmonique par ses valeurs sur une surface; théorème d'existence. — Nous avons vu (n°590) que SI deux fonctions harmoniques dans un volume V, finies ainsi que leurs dérivées premières et secondes, prennent les mêmes valeurs sur la surface limite S, elles sont identiques. Cela revient à dire qu'il n'existe pas deux fonctions harmoniques prenant des valeurs données sur une surface fermée et remplissant à l'intérieur les conditions indiquées. Mais on est alors conduit à se demander s'il existe toujours une fonction harmonique prenant sur la surface des valeurs données à l'avance. La réponse est fournie par le théorème suivant :

// existe une fonction harmonique uniforme finie ainsi que

<S8 ÉQL II. 1 itii i; i:t moi vi;.m i:nt dks milikix contims.

ses dérivées jjicniirres el deii.rièmes dans le 'volume V et prenant, sur la surface S. des valeurs données à l'avance se succédant d' une manière continue.

On peut se rendre compLe de ce fait pai' des considérations physiques. En effet, regardons le volume V comme un milieu homogène et isotrope conducteur de la chaleur; maintenons les divers points do la surface S à une température constante pour chaque point, mais variant arhitrairement d'un point à l'autre. Il s'établit alors, dans l'intérieur du volume, une température stationnaire. Celte température est une fonction U(.r, y, z) qui prend les valeurs données sur la surlace et qui, comme l'a montré Fourier, est harmonique dans le volume.

Cas cV un volume indéfini. — Supposons que le volume V s'étende à l'infini et comprenne toute la partie de Tespace extérieure à des surfaces fermées données dont l'ensemble constitue la surface limite S. Il existe encore une et une seule fonction harmonique dans V, finie ainsi que ses dérivées premières et deuxièmes dans \ , prenant sur la surface limite S des valeurs données et s'annulant à l' infini.

L'existence de cette fonction résulte des mêmes considérations physiques que pour le cas d'un volume (ini.

593. Principe de Dirichlet. — Pour démonlrer malliémaliquement l'existence d'une fonction harmonique répondant aux conditions indiquées ci-dessus, Dirichicl emploie un raisonnement qui repose «ur le principe suivant :

Soit une fonction ({uelconque ç.(a:, j', g) ( harmonique ou non ) finie ainsi que ses dérivées premières et deuxièmes dans le volume V et prenant sur la surface S les valeurs données : soit, dautre part, l'inlé^rulc triple essentiellement positive

^nsMi-m^-m-^

étendue au voluin»;. Dirichlet regarde comme évident que. parmi tes fonctions cp en nondjre infini remplissant les conditions indiquées, il en est une U qui rend V intégrale I minimum; puis il fait voir que celte fonction U réalisant le minimum est harmonique, ce qui démontre le théorème. Mais Weierstrass a montré, dans une critique approfondie des principes du calcul des variations, qu'il n'est pas permis d'affirmer a priori l'existence d'une fonction U remplissant les conditions indiquées à i'inté-

chapitrk: \\i\. — attraction, potentiel. 8(j

rieur el sur la surface, et rendant l'intégrale I minimum : on peut seulement affirmer qu'il existe pour l'intégrale I une limite inférieure dont elle s'approche autant qu'on le veut par un choix convenable de la fonction <p, mais qui n'est pas nécessairement atteinte effectivement pour une détermination spéciale de cp remplissant toutes les conditions exigées.

Un théorème d'existence du même genre, fondé sur le même raisonnement et relatif à des fonctions de deux variables, a été employé par Riemann dans la théorie des fonctions d'une variable complexe qui se rattache à celle du potentiel logarithmique {voir la fin du Chapitre).

On possède actuellement des démonstrations mathématiques rigoureuses du théorème d'existence tant pour le cas de deux que de trois ou même de II variables. Citons entre autres les travaux de M. Schwarz {OEuvres complètes, t. II), de Christoffel {Annaii di Mateinatica, 1870), de M. Harnack {Grundlagen der Théorie des lo garithmischen Potenliales, Leipzig, 1887), de M. Painlevé {Comptes rendus, t. CXII, 1891).

Pour l'espace, C. Neumann a donné une méthode appelée Méthode des arilhmetischen Mittels {Allgetneine Untersuchuiigen iXber das Newtonsche Princip der Fernewirkiing, Leipzig, 1877); cette méthode a été étendue par C. Neumann lui-même au cas de deux variables et par M. Riquier au cas de n variables {Thèse de Doctorat, Paris, 1886). Une méthode qu'il faut rapprocher de celle de C. Neumann, est la méthode donnée par Robin dans sa Thèse de Doctorat, insérée aux Annales de l'Ecole Normale (1886). Enfin M. Poincaré a indiqué une méthode dite méthode du balayage {American Journal, t. XII, 1890).

Ces méthodes ne se bornent pas à prouver l'existence de la fonction harmonique, elles en donnent des expressions approchées.

Il nous est impossible d'entrer ici dans les développements mathématiques que comportent ces théories.