Cas où -^ est nul sur une surface fermée. — Soient une
du
surface fermée S, U une fonction harmonique uniforme , finie ainsi que ses dérivées premières et secondes dans le volume V
limité par cette surface; si -j- est nul en tous les points de la
surface S, U est constant clans le volume. Appliquons, en effet, à ce volume la formule de Green (n" 536) en faisant
<Ij ^^ o z= \j{x, y, z ).
Nous aurons
u AU d-.
.mmï-m--(m''-f.ff^"-
go ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS
cln
Or, acluellenienl, AU = o dans le volume et ~j— = o sur la sur-
face. Donc on a
Si U n'était pas constant dans V, ses trois dérivées partielles ne seraient pas nulles, et cette dernière intégrale ayant tous ses éléments positifs ne serait pas nulle. Donc U est constant.
Par exemple, si dans un champ de force créé par des attractions newtoniennes, électriques ou magnétiques, il existait un tube de forces fermé, comme un tore, ne contenant aucune masse agissante et tel que le potentiel U soit uniforme dans son intérieur, le potentiel serait nécessairement constant dans tout le tube, car en
tous les points de la surface du tube on a -— = o. i dn
Conséquence. — Si dans un volume V^ deux fonctions harmoniques uniformes U, et Uo sont finies ainsi que leurs dérivées
premières et secondes, et si, sur la suriace, —j~ est égal a -i— ? Ja
différence U, — Uo est constante dans le volume, car cette différence est une fonction harmonique U remplissant les conditions précédentes.
Remarque . — L'équation (6) peut servir également à établir le théorème du n" o90, car si la fonction harmonique U est nulle sur S, on a encore l'équation (7^ : donc U est constante dans V, et comme elle est nulle sur S, elle est nulle dans V.
S9o. Détermination d'une fonction harmonique U dans un volume,
quand on connaît U et -y- sur la surface. — Soient dans un volume
limité V deux fonctions uniformes U et U' de .r, j\ z finies ainsi que leurs dérivées partielles des deux premiers ordres et vérifiant chacune l'équation de Laplace; la formule de Green ( n" 336) où (p = U, '} = U', devient
l'intégration étant étendue à la surface qui limite le volume con-
