CHAPITRE XXIX. — ATTRACTION. POTENTIEL
sidéré, et s-^ -r— désiffnant les dérivées prises suivant la normale ' dn an ^ ^
extérieure à cette surface.
Si Tune ou l'autre des fonctions cessait de remplir les conditions de continuité indiquées, la formule devrait être modifiée.
Supposons, par exemple, que U(.r,j', 5) vérifie dans le volume \ les conditions indiquées, mais prenons pour U' la fonction
rt, 6, c désignant les coordonnées d'un point fixe A situé dans le volume V. Cette fonction U' de x^ y, z vérifie l'équation
mais elle cesse d'être continue au point A. Entourons le point A d'une sphère t de centre A et de très petit rayon, et considérons
Fiir. 3oo.
la portion du volume V extérieure à cette sphère. Dans ce nouveau volume, U' est continue : les surfaces hmitant ce nouveau volume se composent de la surface S limitant V et de la sphère cr.
On a donc, en appliquant la formule générale (8) au nouveau volume ainsi limité
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la première intégrale étant étendue à la surface S limitant le volume primitif et la seconde à la sphère c- : les dérivées sont prises suivant les normales extérieures au volume, c'est-à-dire extérieures à la surface S et intérieures à la sphère a.
La première intégrale élant évidemment indépendante du rajon de la sphère a, il en est de même de la seconde. Dans cette seconde intégrale, le premier terme s'écrit
dn '
car /• est constant sur la surface o- et égal au rayon de la sphère ; d'autre part
--- f/- = o, an
car U est continue dans la sphère. Quant au deuxième terme
dl dn
on le calcule comme il suit : La normale intérieure à la sphère cr coïncide avec le rayon; la longueur dn d'un élément de normale intérieure est — di^ et
dn dr i-
L'intégrale ci-dessus est donc, en appelant /• le rayon de la sphère o-,
En prenant des coordonnées polaires d'origine A, on a, sur la sphère <7 de centre A et de rayon ;•,
X ^ a -^ r sinO coso.
y =^ b -^ r sinO sine.
z =^ c -^ r cosO, drj — r^ sin6 dfi d(f, l'intégrale est donc
— / d':ji I U(a — /■ sin6 COSO, 6 — /• siiiO sinç, c -4- /• cosÔ) sinô c?6.
Cette intégrale étant indépendante du rayon ;• de la sphère, nous aurons sa valeur en faisant tendre /■ vers zé/o : on trouve
