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de U et y- ne peuvent pas être prises, en même temps, arbitrairement.

Cas d'un volume uidéfuii. — Supposons que le volume V soit indéfini et se compose de la région de l'espace extérieure à une surface fermée S. La même formule s'applique pourvu que la fonction U et ses dérivées deviennent nulles à l'infini de telle façon

I 1 •. r)TT Tlo^'U r)^()U ,, „()U f. . ,

que les produits KU, rv.--— ? ri- — > n- — restent hms ciuand x^

' ' ôx ôy Oz • '

j', C deviennent infinis, R a)ant pour valeur \J x- ^ y- -^ z- \ la

dérivée -j~ figurant dans la (ormule doit toujours être prise vers

l'extérieur du volume V.

En efl'et, décrivons de O comme centre, une sphère S' avec un rayon R assez grand pour que la surface limite S soit dans cette sphère. Considérons le volume V extérieur à S et intérieur à S' et appelons {a^h,c) un point de ce volume. La formule (10) s'applique à condition de regarder comme surface S limitant le volume V l'ensemble des surfaces S et S'. On peut donc écrire

uO

dn dfi

I / / I 1 dy] ^ ^ / ^cr

du du ^ '

où la première intégrale est étendue à la surface S, la seconde à la sphère S' : r est la distance du point a, b, c k l'élément d^.

Si maintenant on fait croître R, rayon de S', indéfiniment, la dernière intégrale tend vers zéro. En effet, en appelant a, 3, y les cosinus directeurs de la normale extérieure à S', on a

du rJU ,, ()U dU

— = — = a ^, — -+- K> - — an ox Oy

d'autre part, comme nous l'avons vu précédemment (n" 5oo), on a

-— - = -- cosfi, an /■■'

0 désignant l'angle de la normale extérieure à la surface en un point d'j avec la droite /■ = P dn. Enfin

disi étant l'ouverture du cône de sommet O et de base dz. La deuxième intégrale est donc

kr.^J J r \ dn r )

Ouand R au"mente indéfiniment, R- -, -et RU restent finis, le

^ ^ dn

lapport — tend vers i . La quantité sous le signe d'intégration reste

donc finie; mais le premier facteur y^^ tend vers zéro. Le produit tend donc bien vers zéro.

La formule (i i) donne alors une formule identique à (lo), avec cette différence que le point (a, b, c) est extérieur à S :

les dérivées étant prises en suivant la normale intérieure à S. Si l'on prend les dérivées vers V extérieur de I, il faut changer le sisne du deuxième membre.

596. Première application. — La valeur moyenne d'une fonction harmonique sur une sphère est égale à sa valeur au