CHAPITRE XXIX. — ATTRACTION. POTENTIEL
centre. — Supposons, dans la formule générale qui précède, que S soit une sphère ayant pour centre le point («, b, c). Alors sur
cette sphère /■ est constant; de plus ^^ = i^, car la normale
extérieure dn est égale à l'accroissement infiniment petit clr du rayon. La formule devient alors
d\] , -, ai ail
u(«, 6, c)= A rn
Mais U étant, par hypothèse, finie ainsi que ses dérivées premières et deuxièmes dans la sphère S, on a (n° 587")
Ji
, - di = o.
dn
U(a, b,c) = y^^, f fud^.
ce qui démontre le théorème, car le deuxième membre est ce qu'on appelle valeur moyenne de U sur la surface de la sphère.
597. Deuxième application. Couches de niveau. — Imaginons un système de masses attirantes dont le potentiel soit U. Puis considérons une surface de niveau fermée S comprenant toutes les masses attirantes à son intérieur. Soit U = G l'équation de cette surface. Distribuons sur S une simple couche dont la densité en chaque point ait pour valeur
la dérivée étant prise normalement à S vers V extérieur . On obtient ainsi ce qu'on appelle une couche de niveau : cette couche a les propriétés suivantes :
L'attraction de cette couche sur un point extérieur est la même cjue celle des masses attirantes données. Son attraction sur un point intérieur est nulle.
Pour démontrer ce ihéorènie, il suffit de montrer que, si l'on appelle U' le potentiel de cette couche S :
i" A l'extérieur de S, U' est égal à U ;
■^^ A V intérieur cleY^^ U est constant.
En effet, prenons d'abord un point P(c/, h, c) extérieur à la couche. Le potentiel U' de S en ce point est
M- (a, b, c , = /yj |! * = - .^Jf^ '- '^^ <h.
r étant la distance de P à l'élément ch. Mais d'après la formule (12) du n" 59o, on a, puisque les dérivées sont prises vers V extérieur de S,
On en déduit
l]'(rt, b, c) = U(rt, b, C) - ,- / / L' ,- di.
La dernière inté«^rale est nulle; en eff^et, sur 1\ U ~ C; cette intégrale est donc
c'est-à-dire zéro, car le point P(f/, 6, c) est en dehors de S (n" 555).
On a donc bien
L'(a, b, C) —- U(rt, h, c);
ce qu'il fallait démontrer.
Il est facile de voir maintenant que, dans i^, U' est constant. En effet, le potentiel U' de la couche S est continu dans tout l'espace et vérifie partout l'équation AL'=o, excepté sur la couche. Comme à l'extérieur U' est identique à U, on a, sur la couche, \J'=C.
La fonction U' — C est alors, dans l'intérieur de S, une fonction harmonique finie ainsi que ses dérivées premières et deuxièmes, de plus cette fonction s'annule sur S : elle est donc nulle dans S.
Ce théorème et d'autres du même genre, mais plus généraux, ont été découverts par Green et retrouvés tl'une autre façon par
CHAPITUi: \XIX. — ATTRACTION. POTENTIEL. 97
Chasies. II constitue une sorte de réciproque du théorème du n"583.
598. Fonction de Green. — Si l'on connaît la valeur de la fonction harmonique U sur une surface fermée S, cette fonction est, d'après le théorème d'existence, entièrement déterminée à l'intérieur, en admettant qu'elle y soit finie ainsi que ses dérivées premières et deuxièmes. La formule précédente ne permet pas delà calculer en un point intérieur, car celte formule exige la connaissance de U
et ~^— sur la surface. Elle ne permet donc pas de résoudre le problème de Dirichlet. Mais Green a fait la remarque que cette formule permettrait de résoudre le problème de Dirichlet si l'on connaissait, pour la surface S, une fonction harmonique spéciale qu'on a appeléeyb/2C'^/o/? de G/-een. Celle fonction G{x,y, z ; a, b, c) est assujettie aux conditions suivantes :
i" Elle est harmonique dans le volume V limité par S;
2" Elle est, dans ce volume, finie ainsi que ses dérivées premières et deuxièmes;
3" Elle prend sur la surface S les mêmes valeurs que la fonction -, r désignai:! la dislance d'un point de la surface au poinl
intérieur «, 6, c.
D'après le théorème d'existence, celte fonction existe et est unique. Supposons qu'on la connaisse. On a alors, comme U et G sont finies dans V ainsi que leurs dérivées.
d\} dG\
<J ~, V ,— rtJ = G.
j, \ an an )
Retranchons cette formule du deuxième membre de la relation (lo), en nous rappelant que, sur la surface S, la fonction G
est égale à -; les termes en - disparaissent, et il vient
formule qui permet de calculer U dans le volume quand celle fonction est connue sur la surface.
Cas d' un volume indéfini, — On peut de même résoudre le III. n
go EQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.
problème de Dirichlet pour un volume indéfini extérieur à une surface fermée S quand on connaît la fonction de Green pour un point (f/, b, c) extérieur à S. Celle fonction G est alors assujettie à être harmonique dans le volume extérieur à S, à rester finie ainsi que ses dérivées premières et deuxièmes dans ce volume, à devenir à rinfini nulle comme ■ ? enfin à prendre sur S!
les mêmes valeurs numériques que
'• ^x — a)^ + (y — by+{z — cy-
599. Fonction de Green dans le cas de la sphère. — Supposons que S soit une sphère de rayon R; soient P un point intérieur de coordonnées a, h, c etP' le conjugué harmonique de P par rapport aux deux extrémités du diamètre OP; désignons par /'etr' les distances d'un point quelconque de l'espace aux points P et P'; on a, comme on Va vu au n° 566,
(•4) 7- = ÔP?'
sur toute la sphère. La fonction de Green pour l'intérieur de la sphère est alors
En effet, celte fonction est harmonique; elle est continue ainsi que ses dérivées dans la sphère, car le point P' est extérieur;
enfin, sur la sphère, elle prend les mêmes valeurs que - d'après la relation (i4)-
On a donc, en remplaçant G par son expression actuelle et faisant OP r^ /, 0F=: /' ;
\ l dn dii j
Soient A un point de la surface sphérique, 0 et h' les angles de la normale extérieure, prolongement de OA, avec les droites AP et
