CHAPITRE XXIX. — ATTRACTION. POTENTIEL

AP', on a (n" 555)

/■ I „, ri

-7— = — xCosO, ^— =— -cos9;

an 7-2 ' (la r^

en outre les deux triangles OAP et OAP' donnent /2 ^ R2^ /-ï ^-iKr cos6,

comme on a

la deuxième relation devient

R2= /2^,.2 2r/cosf)'; donc, en retranchant,

/2— R2 = r(Rcos6— /ces 6') et enfin

R2/2 ^ RcosG' cosO R/-5 ^ 7 T'2 r^ *

La formule trouvée peut donc s'écrire

(1.1) L (a, ^<, c) = ^j^ J J^ '- --^-^- ch.

Le problème de Dirichlet est ainsi résolu pour une sphère.

GOO. Application. — Si une fonction harmonique uniforme U(a?,/, z) est Jinie ainsi que ses dérivées premières et deuxièmes en tous les points de l'espace, et si sa valeur absolue reste en tous les points de l'espace inférieure à une limite fixe L, cette fonction se réduit à une constante {^ ).

De l'origine comme centre, avec un ra} on R, décrivons une splière : puis appliquons la formule (14) d'abord en supposant le point (a, 6, c) dans une position quelconque dans la sphère; puis en supposant ce point à l'origine, ce qui donne pour la valeur U'o de U à l'origine

( ■ } Voyez Traité d'Analyse de M. Picard, t. I, p. itj.

lOO EQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

car P étant en O, r = R, / = o. On a donc, en retranchant,

Or rélément superficiel ch de la splière de rayon R est égal à Pi- cIm, dio désignant l'ouverture du cône de sommet O et de base d'y et l'on a

Uo^ U(a, b, c) =

L'intégrale du deuxième membre a, d'après cela, une valeur fixe indépendante de R. Nous allons montrer que cette valeur est nulle.

En effet, faisons croître R indéfiniment, le rapport — tend vers i poui

tous les points de la sphère, car le point P reste fixe; donc le facteur

lend vers zéro; d'ailleurs U reste, en valeur absolue, moindre qu'un nombre fixe L. L'intégrale tend donc vers zéro, et comme elle est constante elle est rigoureusement nulle. On a ainsi

U(a?, jK, -3) = Uo:

la fonction U, en un point quelconque, a la même valeui' qu'à l'origine: elle est constante.

601. Propriétés caractéristiques du potentiel d'un système de masses continues. — • Soient des masses continues occupant un volume formé d'un ou de plusieurs morceaux distincts limités par des surfaces fermées. Le potentiel de ces masses est une fonction U qui remplit les conditions suivantes :

i" La fonction U est finie ainsi rpie ses dérivées premières el deuxièmes dans tout l'espace;

2° Elle s'annule à l'infini;

3° Elle vérifie l'équation de Lapiace AU = o en dehors des masses attirantes et l'équation de Poisson AL — 4~p dans les masses attirantes.

Ces propriétés caracté/isenl le potentiel. -- Si par un procédé quelconque on a trouvé une fonction Ut^x., y, z) possédant les trois [)ro{)riétés indiquées, on peut alfirmer qu'elle est identique au potentiel U.