CHAPITRE XXIX. — \TTR.VCTION. POTENTIEL. lOl

En effet, la différence U, — U est finie ainsi que ses dérivées premières et deuxièmes dans tout l'espace, et elle vérifie partout l'équation de Laplace, car, dans les masses attirantes, on a AU,^ — 47îp, AU^= -47^?, donc A(U, — U) = o.

D'après le théorème du n'^SQl, la fonction U, — U est constante, et, comme elle est nulle à l'infini, elle est nulle partout. Donc

602. Application au calcul du potentiel d'un ellipsoïde homogène. -- Comme application, nous exposerons la méthode donnée par Dirichlet dans le Tome 32 àvx Journal de Crelle, pour obtenir le potentiel d'un elHpsoïde homogène de densité p.

Soit l'ellipsoïde homogène dont la surface a pour équation

1" Désignons par x, y, z les coordonnées d'un point donné P de fespace extérieur à l'ellipsoïde, c'est-à-dire tel que

Dans ces conditions, l'équation suivante en u ^'- r- -- ^

admet une et une seule racine positive; en effet, si dans le premier membre de cette équation on fait croître u de o à co, ce premier membre part d'une valeur positive et décroît constamment, pour arriver finalement à la valeur — i : il s'annule donc une et une seule fois. Nous désignerons par u la racine positive unique de l'équation (16). Cette racine est une fonction de x, y, z qui s'annule quand le point P vient sur la surface de l'ellipsoïde et devient infinie quand le point P s'éloigne indéfiniment dans une direction quelconque.

Cela posé, le potentiel U au point extérieur P est donné par

Jr* / X- y- -s^ \ fï^

ôii l'on pose pour abréger

cp(Xj ^ («2-HÀ)(Ô'--^X)(c2^>.).

2" Supposons maintenant Je point P intérieur à l'ellipsoïde; le potentiel U au point P est donné par

r"^' f x''- r'-' ^- \ dX

' \.'o \ «--^^ 6'--^ c^-^lj /^^

3" Si le point P est sur l'ellipsoïde, les deux formules se raccordent, car a = o.

Démonstration. — Nous allons montrer que la fonction U ainsi définie possède les propriétés caractéristiques du potentiel.

Différentions U par rapport à ^, nous aurons :

1° Si le point est extérieur (formule 17)

~ — = — iiiabcçix I

, / X' r- z- \ \ Ou — - a(}c p I — — - ■ -j-, ^ ) — — - T-

où le second terme jarovient de ce que la limite inférieure a est fonction de x. Mais ce second terme est nul puisque n vérifie, par hypothèse, l'équation (16). On a donc

(i<)) - — = — iT.aocçix I •

■a" Si le point est intérieur (formule 18) on a de même dl] , r" dl

'cp,

dV j f"^ dl

(•20) -^ = — ir^abcax 1 ^^-^ •

'^^ / (a2 i X)v/cp(X)

On calculerait de même — ^ et -- • On voit, d après ces lormules,

que la fonction U et ses dérivées sont continues dans tout l'espace.

Calculons, de même, les dérivées deuxièmes :

i" Si le point est extérieur, on a, en différentiant la formule (19) et se rappelant que u est fonction de x.