CHAPITRE XXIX. — ATTRACTION. POTENTIEL. lOJ

cerait, sur le même point P, un arc de cercle homogène ayant pour centre P, pour rayon o, pour densité linéaire /z, et limité aux deux droites PA et PB. Si A s'éloigne à l'infini à gauche, B à

l'infini à droite, 9o tend vers — -j B| vers -h ' et nous avons

if]xh

L'attraction devient perpendiculaire à la droite : elle varie en raison inverse de la distance du point à la droite.

60o. Attraction d'un cylindre indéfini à base finie sur un point. — L'attraction d'un cylindre indéfini sur un point a un sens, si l'on suppose la densité p constante tout le long d'une parallèle aux génératrices du cylindre.

Soit P i^fig. 3o2) le point attiré de masse i. Menons par ce point la section droite S du cylindre.

Soit cil un élément de cette section droite placé en A : le cylindre droit élémentaire indéfini ayant pour base d'y peut être regardé

Fie. 3o2.

comme une droite homogène, dont la densité linéaire, masse de l'unité de longueur, est h =^ p cZg-. D'après ce cpie nous avons vu plus haut, l'attraction cp de ce cylindre élémentaire sur P est diri-

eree suivant PA et egaJe a , ' .

Pour connaître l'attraction du c}'lindre en tous les points de l'espace, il suffit évidemment de calculer l'attraction sur un point P <[ui occupe successivement toutes les positions possibles dans le

i08 ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

plan d'une section droite ^. Prenons dans le plan de la section droite S deux axes rectangulaires 0.r et Oy.

Soient X el y les coordonnées de P ; a et ^ celles de A ; et /' la distance PA

/• = \/{x — aj^~ {y — 6)2.

Les projections de l'attraction élémentaire tp sur les axes Ox et Oy sont

l'attraction résultante F est donc dans le plan de la section droite et a pour projections

]3ans ces intégrales. 0 est une fonction donnée de a et 0, et l'intégration est étendue à l'aire de la section droite S. En posant

u = I I p log/' d'y, a est une fonction de x etj)^; et l'on peut écrire

i^'attraction, dans le plan xOy^ dérive donc du potentiel u. On vérifie, sans peine, que l'on a

^2 log/- d- log/-

dr2 dy"-

le potentiel u vérifie donc, en dehors des masses attirantes, l'équation

d'-u O^'U dx^ dy- '

analogue à l'équation de Laplace.

Le potentiel u ainsi défini se nomme potentiel logarithmique.

L'étude des fonctions de x el y vérifiant l'équation (i) est intimement liée à l'étude des ("onctions d'une variable complexe x-^yi. Nous renverrons, pour cette question, au Traité d^ Analyse de M. Picard (premier Volume).