CHAPITRE XXIX. — ATTRArTION. POTENTIEL. 10i

A l'inlérieur de la masse atlirante, le potenliel logarillimiqut- 0- u 0- u

= -27rp,

vérifie réquation

dx- ôy'' analogue à l'équation de Poisson

(î06. Attraction d'un plan indéfini. Indétermination du problème. — L'expression attraction diin plan indéfini homogène sur un point n'a pas de sens précis. Soit, dans un plan donné. une aire homogène S de densité superficielle p. L'attraction H de S sur un point P de masse i peut être décomposée en deux forces : i" une force normale au plan H^ égale bif':>ù^ où 0 est l'angle solide du cône de sommet P et de base S (n°o67); 2" une force parallèle au plan H^. Supposons maintenant que l'on fasse grandir indéfiniment l'aire S dans tous les sens, de façon qu'elle recouvre progressivement tout le plan : dans ces conditions, la composante Hy, tend vers la limite aîi/p, car 0 tend vers 2—, mais la composante H^ tend vers une limite qui dépend de la façon dont l'aire S grandit indéfiniment.

Si l'aire S, en grandissant, reste constamment symétrique par rapport à la projection O du point P sur le plan, la composante H^ est nulle. iMais si cette symétrie n'existe pas, la composante H^ n'est pas nulle.

Exemple. — Supposons que Taire S soit une bande indéfinie du plan comprise entre deux parallèles AA' et BB' {fig- 3o3). Pre-

Fig. 3o3.

nous comme origine la projection O du point P sur le plan, comme axe 0:r la perpendiculaire commune AB aux deux droites. Le point O est supposé entre les deux droites : soient OA = «, OB= 6,

OP = p. Menons une parallèle CC à Oy^ ayant pour abscisse x et une parallèle infiniment voisine d'abscisse x -r dx\ nous avons ainsi une bande infiniment mince qui peut être assimilée à une droite de densité linéaire 1i = p dx (masse de l'unité de longueur de la bande). L'attraction cp de cette bande élémentaire sur le

point P de masse i est dirigée suivant PC et égale à ^wtt- (n^ôOi);

sa composante suivant la droite PT parallèle à Ox est

2/p dx X __ ifç X dx "^^ "" PC PC ~ x'--^i,^' '

La composante H; de l'attraction de la bande totale suivant PT est la somme de ces composantes élémentaires

H, = 2 fo / -- — — = /p Log fir^-^ '

les limites étant les abscisses des points B et A.

Elargissons maintenant la bande A A'BB' de façon à lui faire recouvrir tout le plan; pour cela, il suffit de faire croître indéfiniment a et h suivant une loi quelconque. Nous voyons que H; tend vers une limite qui dépend de la façon dont a et b augmentent ind('finiment. Ainsi, en supposant constamment a =:= 6, on a

En supposant constamment a ------ 26, on a, pour b =^ x,

liiii II, — a/p Log2.

En supposant a ^^ hb

liiii 11/ ^ -xfo Log/-.

607. Indications historiques et bibliographiques. — Nous avons donné dans le cours de ce Chapitre quelques indications historiques et bibliograj)lii([ues. On liouvera des indications très détaillées dans une excellente publication intitulée Potential Théorie, insérée dans VEncyclopœdie der malhematischen Wissenschaflen, lierausgegeben von Heinr. Bavckhavdl und Franz Meyer (Leipzig, Tcubner, 1896). Nous avons, dans ce qui précède, emprunté plusieurs renseignements à cette publication.