CHAPITRE XXIX. — ATTRACTION. POTENTIEL. III

Il convient d'ajouter à la liste des Ouvrages qui y sont cités, au point de vue historique :

La Thèse d'Olinde Rodrigues, De V attraction des sphéroïdes, soutenue à Paris le 28 juin 181 5, qui contient l'expression des poljnonies de Legendre par les dérivées de (1 — x-)"-.

Et, au point de vue de l'Enseignement :

Le Cours d'Analyse infinitésimale de M. Boussinesq, t. II, Calcul intégral, Compléments (Gauthier-Villars, i8qo);

Les Leçons sur V Electricité et le Magnétisme, par Mascart et .loubert (Masson, 1S82);

Les Leçons sur V Electricité, par Eric Gérard (Gauthier- V^illars, 1897);

Les Leçons sur le potentiel newtonien, par M. Poincaré (Carré et Naiid, I 899).

EXERCICES

I. On considère l'espace compris entre une sphère S et une sphère plus petite S' placée à l'intérieur de S; cet espace est supposé rempli d'une matière homogène de densité p. Calculer l'attraction du corps ainsi constitué sur un point.

Réponse. — Celte attraction est la dillérence géométrique des attractions des sphères S et S' supposées pleines toutes deux.

■•2. L'attraction d'une couche homogène limitée par deux ellipsoïdes homothéliques et concentriques, sur un point intérieur, est nulle

3. Théorème d'Ivory et de Mac-Laurin. — Les valeurs des potentiels de deux ellipsoïdes homofoeaux en un point quelconque, extérieur à la fois aux deux ellipsoïdes, sont entre elles comme les masses des deux ellipsoïdes.

1. Solide de plus grande attraction. — Étant donnée une masse de matière homogène, de densité p, quelle forme et quelle position faut-il lui donner pour que son attraction sur un point P soit la plus grande possible?

Réponse. — En prenant comme origine le point P, la surface limitant le solide est une surface de révolution autour d'un axe passant par P. La méridienne a pour équation en coordonnées polaires

/•- = k- cos6,

où h est une constante (Bertrand, Calcul intégral, p. 43o).

5. Equation de Laplace en coordonnées polaires. — lui appelant /•, 8, cp les coordonnées polaires du point potentié x, y, z, l'équation de Laplace AU = o prend la forme

' Or^- ' sine (^el,*'" (^e/^ihi:^ ^ " °'

6. Polynômes harmoniques. — Former le poijnome le plus général V„ homogène et de degré n en a:, y, z vérifiant l'équation de Laplace AV„= o.

Réponse. — Dans l'expression de ce polynôme (igurenl j» -; i constantes arbitraires. Ainsi

\Jx, y, z) ^-- \,{x-— Z-) -i->^,(r'- z''-)-^\yz. -^l.zx-^ \xy,

avec cinq constantes.

7. Fonctions Y„ de Laplace. - Si l'on substitue aux coordonnées rcctilignes rectangulaires x, y, z les coordonnées polaires dans l'espace

a; — /• sinD cos'f , j' -= /• sinO sin», x: = /-cos6, le polynôme homogène \„{x,y,z) de l'exercice précédent prend la forme

Démontrer que la fonction Y,, ainsi obtenue vérifie l'équation aux dérivées partielles

-^— ^ — sin 6 - " -i ^^^ — r-„'i -r /i ( 7? -+- 1 ) 1 „ = o.

L'intégrale double

r sin 6 d^ f Y„ (6, -^ ) Y„. (0, 9 ) rf'f

('.y^ nulle tant que les entiers n et n' sont différents.

Pour démontrer ce fait, il suffit de considérer le volume compris entre deux sphères concentriques de centre O et de rayons /• et H, et de remarquer que, le> polynômes V„(^, jk, ^) et V„'(.r, j^ z) étant linis et continus dans ce volume, on a ( n" 595)

l'intégration étant étendue aux surfaces des deux sphères. En calculant cette intégrale en coordonnées polaires, on trouve précisément l'équation à établir.

8. Théorème de W. Thomson. — Si une fonction V(x.y. z) vérifie l'équation de î.aplace, la fonction

la lérijie également {Journal de Liouville, t. \1I, Extraits de lettres adressées à M. Liouvillc par M. W. Thomson).

'.). f.a fonction de Grecn G(.r, y, z; a, 0, c) dépend des coordonnées courantes .£, y^ z et des coordonnées a, b, c du point fixe à partir duquel on compte la distance /'. Démontrer que cette fonction est symétrique en a, b, c et x., y, z. Cela est facile à vcrifiri- pour la fonction de Green dans le cas d'une sphère (n° 599).

10. Attraction d'une couche sphériquc homogène sur un point. Application de l'équation de Laplace. — La disposition de la matière attirante étant symétrique autoui' du centre O de la couche, la valeur du potentiel U(x, y, z) de la couche en un point P est évidemment une fonction de la seule distance /• du