CHAPITRE XXIX. — ATTRACTION. POTENTIEL. Il

point P au centre. On peut dire aussi que U est fonction de -

Dans la partie extérieure de la couche, comme dans la partie creuse, on a AU — o. Exprimant ce fait, on trouve

,-(;,) = 0, . = ,(:) = Ai.,,.

A. et B étant des constantes :

1° Dans la partie extérieure B = o, A = M ( n° 584 );

2° Dans la partie creuse, A = o, car U doit rester fini au centre.

11. Etant donné un ellipsoïde homogène, on peut recouvrir la surface de l'ellipse focale d'une simple couche de densité convenablement choisie en chaque point, de telle façon que le potentiel de cette couche coïncide à l'extérieur de l'ellipsoïde avec celui de l'ellipsoïde. A l'intérieur de l'ellipsoïde, le potentiel de la couche peut être regardé comme le prolongement analytique de la fonction harmonique donnant à l'extérieur le potentiel de l'ellipsoïde (Lipschitz, Journal de Crelle, t. 61; i863).

12. Fonctions harmoniques uniformes à trois groupes de périodes. — Soient (a, b, c), {a', b', c'), (a", b",c") les coordonnées de trois points non situés dans un même plan avec l'origine. Imaginons une fonction harmonique F{x^y, z) uniforme dans tout l'espace et telle que

on dit que cette fonction admet les trois groupes de périodes {a, b, c), [a', b', c'), (a", b", c" ).

Géométriquement, si l'on construit le réseau des parallélépipèdes ayant pour sommets les points de coordonnées ma -^- m' a' -h m" a" , mb + m' b' + m." b" me + m.' c' + m" c" où m, m', m" sont des entiers quelconques positifs, négatifs ou nuls, la fonction F reprend les mêmes valeurs aux points homologues dans ce réseau. On voit qu'elle est analogue à la partie réelle d'une fonction doublement périodique d'une variable complexe.

Parmi ces fonctions F considérons celles qui deviennent infinies en des points

isolés, comme - ou comme les dérivées de -• On peut toutes les exprimer à l'aide

de la fonction suivante :

Posons

a.^= ma + m' a' + m" a" ,

b^ = mb -t- m' b' -+- m" b" ,

c.,= me -t- m' c' -i- m"c",

r = sjx"- -t-jK' H- -s-, p = \Jà;^ + b}, + cl,

y 6,, -\- zc^

R = \J{x — a,S-+ {y — 6J=-f- (s — c^f = \/r-— arp cos-f -+- p- III. 8

Il4 ÉQUILlBRi: ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

puis considérons la série

où la somme 2, "^^^ étendue à toutes les combinaisons de valeurs des entiers m,

ni', m", la combinaison m = ni' = »i" = o étant exceptée.

Pour toutes les positions du point {x, y, z) distinctes des points (a,^, b.^, c.^) la série est convergente : elle définit une fonction harmonique Z qui existe dans tout l'espace excepté aux points (a.^,6,,,cj en chacun desquels elle devient infinie de telle façon que la différence

reste finie en ce point.

Cette fonction est analogue à la fonction Z de M. Hermite ou à la fonction

^= — de Weierstrass dans la théorie des fondions elliptiques {Voyez Appell

et Lacour, Fonctions elliptiques). A l'aide de cette fonction Z on peut construii-e les fonctions harmoniques P{x, y, z) à trois groupes de périodes, de

même qu'avec la fonction — > on construit les fonctions elliptiques (Vojez Acta

Matliematica, t. IV et VIII, et Journal de Mathématiques., 4° série, t. III).

1.3. Fonction de Green pour l'intérieur d'un parallélépipède rectangle. — Ce problème a été traité par Riemann {Schwei-e, Electricitdt und Magnetismus, p. 84 ). La fonction en question peut être exprimée d'une façon simple à l'aide de la fonction Z de l'exercice précédent {Acta Matliematica, t. VIII, p. 275).

14. Exemple de onction harmonique non uniforme. — Soient a, b, c, a, p, y des constantes réelles, x, y, z des variables réelles; considérons la fonction

\/'{x — a — ia)^-i- {y — 6 — ip)^-t- (.s — c — iy)où i est l'unité complexe. Cette fonction peut se mettre sous la forme

Dans ces conditions, les deux fonctions » et <\i sont harmoniques; elles deviennent infinies sur le cercle d'intersection de la sphère

avec le plan

En un point P (x, y, z) de l'espace chacune de ces fonctions a deux déterminations qui s'échangent quand le point P décrit un contour fermé traversant l'aire du cercle {Mathematische Annalen, t. XXX, p. i55; 1887).

On trouvera d'autres exemples dans un Mémoire de M. Sommerfeld paru dans les Proceedings of the London Mathematical Society, Vol. XXVIII.

15. Soit une fonction harmonique U uniforme finie ainsi que ses dérivées premières et deuxièmes dans un volume V limité par une surface S. Si, sur la sur-