CHAPITRE XXX. — ÉQUATIONS GÉNÉRALES

l'autre négative, la face positive étant du côté de MiX. Les éléments matériels du milieu contigus à di du côté négatif exercent, sur les éléments matériels contigus à r/cr du côté positif, des actions que

l'ie. 3o6.

Ton peut remplacer par une force Tc/cr appliquée à l'élément dn^nous dirons que cette force est l'effort élémentaire s exerçant sur la face négaln^e de Pélément dn: La force T est l'effort, s'exe'çant sur la face négative, rapporté à l'unité de surface.

Les projections Tj.-, T^., T^ de T sont, à l'instant t, des fonctions de x^y^ z, a, [6, ^ ; ce sont donc des fonctions de t, x.y, z, a, |i, y. Si le système est en équilibre, ces fonctions ne contiennent pas t.

Cet effort T est une pression quand il fait un angle aigu avec la normale MN {fig. 3o6, I); il est une traction quand il fait avec MN un angle obtus {fig. 3o6, II).

D'après le principe de Tégalité de l'action et de la réaction, les éléments matériels contigus à <^t sur la face positive exercent, sur les éléments matériels contigus à di sur la face négative, des actions que l'on peut remplacer par une force H di égale et opposée à la précédente : cette force est l'effort élémentaire s'exerçant sur la face positive de l'élément ch.

614. Expressions des composantes de l'effort en fonction de a.

fj, '(. — Nous venons de voir qu'à chaque instant t, les projections 'Vxi T^-, Tj de l'effort agissant sur la face négative d'un élément d<7 sont des fonctions de x, y, z et de a, fi, y. Nous allons montrer que ce sont des fonctions linéaires et homogènes de a.

Prenons dans le milieu continu un point M de coordonnées x^ y, z : soit c/7 un élément superficiel mené ])ar ce point.

Parmi toutes les positions possibles de l'élément d7 autour du point M, supposons d'abord que cet élément prenne une position d^i perpendiculaire à Ox, de telle façon que la normale MN coïncide avec Ox (a = i , |j z= o, y ^= o) • appelons X|, Y, , Z, les composantes de l'effort qui s'exerce sur la face négative de f/o",, rapporté à l'unité de surface. Appelons de même

les composantes de l'efTort, rapporté à l'unité de surface, qui s'exerce sur la face négative de l'élément (juand il est successivement perpendiculaire aux axes Oy et O;. Nous allons démontrer que l'on a

l T^-aXi-f-pX^ + YXa,

(4) T^--aY,-pY2 + YY3,

( T;, = aZi^pZ2^7Z3.

Pour cela, menons par le point ]M trois parallèles aux trois axes de coordonnées et prenons sur ces parallèles des segments infiniment petits ^lA, MB, MC. Dans la Jïg. 3o- nous supposons ces segments dirigés dans le sens positif des axes. Si nous menons le

Fis. 3o-.

^asy

TdT

plan ABC, nous formons un tétraèdre élémentaire MABC : appelons f/o-,, «r/o-o, c/'j-i les faces BMC, CMA, AMB respectivement perpendiculaires aux axes Ox, t)y, O::, et c/7 la face hypoténuse; désignons en outre par a, j3, y les cosinus directeurs de la normale à cette face estimée positivement vers l'extérieur du tétraèdre. En

CHAPITRli: XX \. — EQUATIONS GÉNÉRALES. 12^

projetant la face dy sur chacune des trois autres, on a

( 5 ) dci = a ch, chi = ^ ch, dis — y di.

Le tétraèdre étant infiniment j^etit, la face ABC est un élément plan dont la position limite passe par le point M.

Soient Tx, Tj, Tz les projections de l'elTort, rapporté à l'unité de surface, s'exerçant sur la face négative de l'éléjiient ch; les projections de l'efl'ort s'exerçant sur la face positive seront — T^, — T — T

Cela posé, on peut regarder le tétraèdre élémentaire comme libre, à condition d'appliquer :

1° A son volume ch, la force extérieure de projections

pXdz, pY dz, pT.d~,

a désignant la densité en M, et la force d'inertie, de projections — pi^d-z, — pjydz, — pi-dx:

2" Sur les éléments superficiels f/s-,, c/o-o, ch^, d<7 les efforts élémentaires de projections

Xid<7i,

Yi^ai,

Zi<1^(Ti,

Xarfd,,

Y 2 di^ 1

XacZaj,

Ysdi,,

Z3 dis ,

— T^f/cr,

— Tyf/a,

— Tzdi.

La somme des projections de ces forces sur un axe quelconque devant être nulle, on a, sur Ox.

p(X — Jj;)(i- -f- X] dii -h X^dii^ Xsdis — T^<ia- — o. D'après les relations (5) cette relation s'écrit

T^= aX,-f- px,+ 7X3+ p(X- J^)^.

Mais -,- est nul, car c'est le tiers de la hauteur du tétraèdre issue ai

de M, hauteur qui est infiniment petite. On a donc

T.,= aX,-t-j3X.2H-YX3.

On établirait de même les deux autres formules (4)-

Nous avons supposé, pour simplifier, les arêtes OA, OB, OC

dirigées clans le sens des axes positifs, c'esl-à-dire a, |j, y positifs; mais les formules obtenues sont générales. Dans ces formules, les quantités

X,, Xo, X„ Y,, Y,. Y3, Z,, Zo, Z,

sont des fonctions de x, y^ z el t : car en chaque point du milieu, à chaque instant, ces neuf quantités sont déterminées.

6I0. Équations générales. — Prenons dans le milieu une surface fermée S' : ap|)elons ch un élément superficiel de S', a, p, v les cosinus directeurs de la normale à ch exté/-ieu/e à S'. La matière contenue dans S' peut être regardée comme isolée à condition que l'on fasse agir sur chaque élément cIt l'eiTort élémentaire s'exerçant sur la face extérieure, c'est-à-dire sur la face positive de cet élément. Les formules (4) donnent l'effort, rapporté à l'unité de surface, s'exerçant sur la face négative d'un élément : sur la face positive, on a donc

[ T;r = -(aX, -4- 3X2+7X3),

Cela posé, eu écrivant que les forces extérieures appliquées aux éléments de volume ch et aux éléments superficiels ch de S' et les forces d'inertie se font équilibre, on a les six équations (3). Ecrivons ces équations en tenant compte des valeurs (6) de Tj,-, T^, T7 : nous avons

j ff fp(X-3^)ch -yy^(aX,-. 3X0^7X3)^/7 = 0,

p ( j' Z — ^ Y — yi--^ z3y)d-

{jZ2—zY,)-^'((yZs — zY3)]di = o,

Ces intégrales se transforment par Tapplicalion de la formule de Green (n° o34). On a d'abord