CHAPITRE XXVIII. — INTEGRALES DE VOLUMES

grale est donc le flux du tourbillon W à travers la surface S. La formule de Slokes

peut alors s'énoncer ainsi :

Le travail d'un vecteur agissant sur un point qui décrit un contour fermé est égal au flux du tourbillon de ce vecteur à travers une surface continue limitée à ce contour.

Cet énoncé montre que le vecteur tourbillon d'un vecteur donné a une signification géométrique indépendante du choix des axes. On peut remarquer que la divergence du vecteur tourbillon est nulle; en effet, d'après les valeurs de W^;, W,, W~, on a identiquement

dx dy dz

11 en résulte que le flux du tourbillon à travers une surface fermée, située dans le champ, est nul.

542. Cas particuliers. — Dans ce qui précède, le vecteur K de projections P, Q, Il est quelconque. Voici deux cas particuliers importants :

i" Pour que P dx — Q^dv -h R dz admette un facteur intégrant, il faut et il suffît que le tourbillon du vecteur K soit, en cliacjue point, perpendiculaire à ce vecteur.

En effet, appelons -r ce facteur intégrant; si l'on a

éx dy ôz

on obtient pour les projections du tourbillon

dy dz dz dy ■* dz dx dx dz

^^^ d'il d':, d'il d<D VV - ^ — - —^ — — - — '- .

dx dy dy dx

l6 ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

D'où Ton déduit immédiatement

(10) PW^— QW^^ R\V, = o,

ce qui démonli'e que le tourbillon est perpendiculaire au vecteur.

Réciproquement, on démontre en Analyse que, si cette condition de perpendicularité (lo) est remplie identiquement, l'expression P dx -7- Q dy -f- P» dz admet un facteur intégrant.

En employant une façon de parler définie plus haut, on a ainsi la condition nécessaire et suffisante pour que le vecteur K soit doublement scalaire.

2'^ Pour que V dx -\- ^dy -r^dz soit une différenlicUc totale exacte, il faut et il suffît que le tourbillon soit identiquement nul.

En efifet, les conditions nécessaires et suffisantes pour qu il en soit ainsi sont précisément

dK àO dP dn ^ ^

dy dz ' dz dx ' dx ôy

543. Invariants. — Dans ce qui précède, nous avons été conduits à déduire d'un champ de vecteurs, soit des fonctions de point, soit d'autres vecteurs qui ont des significations indépendantes du choix des axes et qui sont, par suite, des invariants pour un changement d'axes quelconque.

Ainsi, pour un vecteur K de projections P, Q, R, la divergence

dV ùq dK dx ' ôy ' dz

est une fonction de point indépendante du choix des axes, le tourbillon est un deuxième vecteur indépendant du choix des axes, le tourbillon du tourbillon en serait un autre, etc.

I\l. Ileinrich Burckhardt a résolu le problème général de déterminer ainsi toutes les fonctions d'un ou de plusieurs vecteurs qui sont des fonctions de points ou qui peuvent ser^ir à définir de nouveaux vecteurs { Nadir ichteii der Kôiiiglichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Goltingen; iH(j3).

oii. Première application. — Soient A et B deux points quelconques du champ de vecteurs {fii^. 282) : joignons-les par une courbe C et considérons l'intégrale

I =: r V dx-\-(ldy—V. dz = f Kcd.s, d\cis 'Acn