CHAPITRE XXXI. — HYDROSTATIQUE. l5l

force rapportée à l'unité de masse dérive d'une fonction de forces.

Supposons, d'une manière générale, que cette circonstance se

présente et appelons U(.r,y, :;) la fonction de forces. L'équation

d'équilibre est alors

dp = p d\}.

Cette équation montre d'abord que p est fonction de U seulement; en effet, si l'on se déplace dans le fluide de telle façon que U reste constant, c/U est nul, donc dp est nul et p reste constant. Ainsi

Les surfaces d'égale pression ou surfaces de niveau se confondent donc avec les surfaces U ^ const.

Remplaçons p par cette expression dans l'équation d'équilibre et désignons par ©' la dérivée de o; nous aurons

Les surfaces d'égale densité se confondent donc avec les surfaces de niveau.

Enfin-, l'équation caractéristique entre p. p etT montre que x est également une fonction de U, c'est-à-dire que les surfaces d'égale température coïncident aussi avec les surfaces de niveau.

632. Application. Équilibre relatif d'un liquide pesant animé d'un mouvement de rotation uniforme autour d'un axe vertical fixe. — Imaginons un liquide pesant de densité p animé d'un mouvement de rotation uniforme, de vitesse angulaire (o, autour d'un axe vertical fixe ascendant O^. Cberchons si ce liquide peut prendre un état d'équilibre relatif par rapport à des axes rectangulaires 0.r, Oy, Or tournant autour de Oz avec cette même vitesse.

Pour cela, ou peut regaider les axes mobiles comme fixes, à condition d'ajouter à la pesanteur la force centrifuge {voyez Chap. XXII). Soit dm un élément de masse de coordonnées relatives x^ y^ z : le poids de cet élément a poiir projections sur les axes 0.r, Ojk, O.; les quantités o, o, — g din\ la force centrifuge est dirigée suivant la perpendiculaire abaissée de l'élément considéré sur l'axe O:;, elle tend à éloigner l'élément de l'axe et elle a

pour intensité oi-rdm, /■ étant la distance de l'élément à l'axe; par suite, la force centrifugea pour projections ui'-x din^ o)-ydm, o. La résultante des forces qu'il faut appliquer à l'élément dm a donc pour projections (^i-xdm, M-ydm, — g dm, et la force X, ^ , Z rapportée à l'unité de masse est

X = o)-x. Y = w-j', Z = — ff.

L'équation d'équilibre est alors

dp = p[iM-( X dx ^ y dy) — ff dz].

Actuellement, la force X, Y, Z dérive d'une fonction de forces uniforme

V = ^{x^-y^-)-ffz,

et l'on peut écrire

dp = p dV ;

on pourra donc appliquer à cet exemple toutes les conclusions du numéro précédent.

Les surfaces de niveau sont

U = const.;

ce sont des paraboloïdes de révolution autour de O:; tous égaux, la parabole méridienne ayant pour paramètre ^•

La surface libre du liquide supposée en contact avec l'air immobile est une surface de niveau, car, sur cette surface, la pression est constante et égale à la pression atmosphérique /?«. La constante arbitraire figurant dans l'équation de la surface libre se détermine par cette condition que la masse liquide limitée par les parois du vase et la surface libre a une grandeur donnée.

Si le liquide est à une température constante, p est constant; alors, en intégrant, on a

où c est une constante, et la surface libre a pour équation

— (x^- -h y- ) — gz = c ,