CHAPITRE XXXI. — H YD ROS T A T 1 Q U K . l6l

Les surfaces de niveau U = const. sont des plans passant par 0^, et la valeur de U en un point M est l'angle que fait le plan z OM avec le plan zOx. La force dérivant de U, qui agirait sur un point de masse i placé en M, est perpendiculaire au plan zOM et dirigée, par rapport à ce plan, du côté des U croissants, c'est-à-dire dans le sens positif des rotations autour de O^; elle tendrait donc à faire tourner ce point dans le sens positif des rotations autour de Oz. On trouvera dans le Chapitre IV, premier Volume, une figure se rapportant à cette question.

Cela posé, imaginons d'abord un liquide de densité constante p, contenu dans un vase clos à connexion simple, comme un ellipsoïde, non traversé par l'axe O^.

Dans ce vase, chacune des déterminations de U, suivie par continuité, est uniforme, car le point x, j, z ne peut pas tourner autour de Oz sans traverser les parois du vase. Le liquide prendra donc un état d'équilibre, dans lequel la pression sera déterminée par la formule

(i3) ^— = arc tang^:^ arc tant' •^,

où po est la pression au point particulier Mq(cco, y^, Zq). Cette formule donne pour/? une seule valeur au point M(x,y, z), car la différence des deux arcs tang du deuxième membre est la variation que subit la valeur

de arc tang — suivie par continuité dans la niasse liquide du point Mo

au point 31; cette variation est l'angle dont tournerait dans le sens positif autour de O^ un mobile allant de Mo en M dans le liquide.

Le fait que l'équilibre s'établit est d'ailleurs évident a priori, car les parois du vase empêchent le liquide de tourner autour de O^ sous l'action des forces supposées.

Imaginons, au contraire, que le vase contenant le liquide ait la forme d'un tore ayant Oz pour axe : alors la fonction U n'est plus uniforme dans la masse fluide; en effet, si, partant d'un point quelconque M de cette masse, on se déplace dans le fluide en faisant un tour autour de O^ et revenant au point de départ, la fonction des forces, suivie par continuité, possède, au commencement, une valeur U et, à la fin, la valeur U±2-. L'équilibre est donc impossible. C'est ce qu'on voit a priori, car, la force qui agit sur chaque molécule tendant à faire tourner la molécule autour de O^ dans le sens positif, le liquide tout entier se met à tourner autour de cet axe.

Pour empêcher ce mouvement, on pourrait placer dans le tore une cloison AB coïncidant avec le plan d'un méridien; mais cette cloison, adjointe aux parois du tore, déterminerait un nouveau vase dans lequel U serait uniforme ; on ne pourrait plus, sans traverser les parois du vase, faire dans le liquide un tour autour de O^. Cette cloison est alors, pour la fonction U, une coupure rendant cette fonction uniforme, comme les coupures employées dans la théorie des fonctions. L'équilibre étant établi

l62 ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

dans ces conditions, la formule (i5) montre que, sur les deux faces de la cloison, les valeurs de la pression diffèrent de it.z.

Des circonstances analogues à celles que nous venons d'indiquer se présentent dans l'équilibre d'un liquide soumis à des actions électromagnétiques {voyez une Note de M. Lippmann, Comptes rendus, 3 novembre 1884 )• Nous reviendrons sur ce point dans la Dynamique des fluides.

639. Surface libre des mers dans l'hypothèse d'un noyau terrestre sphérique. — On sait que la surface des mers, que l'on regarde comme la surface moyenne de la Terre, n'est pas sphérique; elle peut être assimilée à un ellipsoïde aplati de révolution autour de la ligne des pôles. Essaj'ons de nous rendre compte de ce fait en regardant la Terre comme formée d'un noyau sphérique com-^ posé de couches concentriques homogènes, recouvert d'une couche d'eau ; nous négligeons d'ailleurs l'attraction newtonienne des molécules d'eau les unes sur les autres.

Dans ces conditions, l'attraction de la Terre sur une molécule liquide est la même que si toute la masse du noyau était concentrée au centre. Soient a le rayon équatorial des mers, b le ravon polaire, R le rayon moyen de la Terre;

Appelons A l'intensité de l'attraction du noyau sur l'unité de masse à la distance R du centre; à la dislance /' du centre, elle

est — —• Si nous prenons comme origine le centre de la Terre,

comme axe O^ l'axe polaire et comme axes Ox et Oy deux axes liés à la Terre dans le plan de l'équateur, pour étudier l'équilibre relatif des mers, il suffira d'ajouter, à l'attraction du noyau qui agit sur chaque molécule liquide, la force centrifuge calculée comme au n" 632.

L'atlraction du noyau sur une molécule de masse i dérive de la

fonction des forces ^ — — et la force centrifuge appliquée à la même

molécule de la fonction -^ ( x- ^ y-)^ (o étant la vitesse de rotation

de la Terre.

La résultante des forces rapportée à l'unité de masse dérive