CHAPITRE XXXI. — HYDROSTATIQUE. l

donc de la fonction

L'équalion d'équilibre est alors

dp := p o?U, ^ = pU -!- const.

Les surfaces de niveau ont pour équation U = const. En particulier, la surface libre, sur laquelle la pression est regardée comme constante, est une surface de niveau. L'équation de cette surface est donc

C'est une surface de révolution dont la méridienne, dans le plan j>^ = o, a pour équation

où C est une constante que l'on peut déterminer en écrivant que le rajon polaire (^7 = 0) a une longueur donnée b\ on trouve ainsi

pour C la valeur — —

Comme to est très petit, la courbe méridienne diffère peu d'un cercle, car, si w était nul, elle se réduirait à un cercle ; on s'assure sans peine que sa forme se rapproche de celle d'une ellipse : pour cela, on peut résoudre l'équation par rapporta z- etdévelapper :;en une série procédant suivant les puissances croissantes de oj^ ; en négligeant les termes en co^, en obtient l'équation d'une ellipse. Conservons l'équation sous la forme (16), où Cala valeur trouvée plus haut, et cherchons le rayon équatorial a, en faisant ^ = o,

X ^=^ a\ nous avons

AR2 w2 , AR2 ai b

D'où, en transposant, on trouve pour l'aplatissement a — b Ra)2 a''- b

Comme les rapports d 6t -5- des rayons équatoriaux et polaires au rayon moyen de la Terre sont très voisins de i , on peut écrire

l64 ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

approximativement

comme il résulte de ce fait déjà signalé dans le Chapitre XXII,

§TTT R(o2 ., , , , , T

111, que — 7 — est sensiblement esral a — -•

Les mesures géodésiques montrent que l'aplatissement est environ ^. Les hypothèses simples qui précèdent sont donc insuffisantes pour rendre compte de la forme de la Terre; en réalité, le noyau solide n'est pas sphérique, mais est lui-même aplati suivant la ligne des pôles (^voyez Greenhill, T réalise on Hydrostatics, p. 458-459, et KiRCHHOFF, Mechanik, zwolfte Vorlesung).

640. Figures ellipsoïdales d'équilibre relatif d'une masse fluide homogène animée d'une rotation uniforme. — Soit une masse fluide homogène limitée par un ellipsoïde; supposons que les éléments de cette masse s'attirent suivant la loi de Newton et que la masse tourne autour d'un de ses axes de symétrie avec une vitesse angulaire constante w. Cherchons s'il est possible que la masse soit en équilibre relatif, en supposant que la pression sur la surface libre soit nulle ou égale à une constante donnée.

Premier cas. — LJ ellipsoïde est de révolution (ciplati) autour de l'axe de rotation. — Ce cas a été étudié d'abord par Mac Laurin. Prenons l'axe de rotation pour axe O^, et pour axes O^" et Oy deux axes invariablement liés à l'ellipsoïde tournant. Soient

l'équation de la surface de l'ellipsoïde, p la densité du liquide et f la constante de l'attraction universelle. D'après ce que nous ayons vu dans la théorie de l'attraction (n° 603), l'attraction de l'ellipsoïde sur un point de masse i placé à l'intérieur ou sur la surface a pour projections, sur les axes, des quantités de la forme (18) -Vx, -?y, -R^,

où P et R sont des constantes ayant pour valeurs

j — '—T. arc tangA-

I R=/^-^^^^^^(/c-arr,tangA-),