CHAPITRE XXXI. — HYDROSTATIQUE. idS

en posant

D'autre part, la force centrifuge qu'il faut appliquera un point de masse i pour étudier l'équilibre relatif a pour projections (n°632)

(20) tii^-X, W^J)', o.

La résultante des forces rapportées à l'unité de masse a donc pour projections

et l'équation d'équilibre est

dp — — ^\{V ^ ^^'-^{x dx -\- y dy) ^'Kz dz\.

Gomme p est constant, on a, en intégrant,

p=— .^p[(P — to2)(:r2 + jK2)^R^2],C.

Les surfaces de niveau p = const. ont donc pour équation

où )v est une constante arbitraire. Ce sont des ellipsoïdes de révolution homothétiques et concentriques.

Comme, sur la surface libre, la pression est supposée constante, cette surface doit elle-même se trouver parmi les surfaces de niveau. Identifiant les équations (21) et (17), on a

«2 remplaçons j^ par i + A-, P et R par leurs valeurs et réduisons,

nous aurons finalement une équation de condition qu'on peut écrire

0)2 (3 -+- />:2)arctangA-— 3A- ^^^^ ^^T/^ ~ k^

Quand w et p sont donnés, cette équation transcendante détermine k et, par suite, le rapport j des axes de Fellipse méridienne

relative à la surface libre ; les axes eux-mêmes sont ensuite déterminés par celte condition que le volume de la masse liquide est connu.

Discussion. — Pour discuter l'équation (22) où A' est l'inconnue, faisons varier A" de o à 00 et étudions la variation de la fonction

(3 — A-2)arctangA — 3 A

qui forme le deuxième membre; nous représenterons cette variation par une courbe obtenue en portant les valeurs de k en abscisse et celles de h en ordonnée {Jig. 3o8).

FiK. 3c8.

Si l'on remplace arc langA par son développement en série

ou voit que, pour de petites valeurs de k, le développement de h commence par le terme -^jA-; donc, pour A = o, h est nul et la courbe est tangente à Taxe Ox au-dessus de cet axe. Si A* augmente indéfiniment par

valeurs positives, arc tangA tend vers - ■> h tend donc vers zéro par des

valeurs positives et la courbe est asymptote à 0^7. La fonction /i de A a donc, au moins, un maximum dans l'intervalle; nous allons voir que ce maximum est unique et le déterminer. Pour cela, calculons la dérivée de h par rapport à A on trouve

clh Tfk

en posant

yk^-i-Qk

— arc tangA.

dh pour avoir le signe de -jy-» il suffit d'étudier le signe de t)(A); or, cette

fonction, pour A — o, est nulle et, pour A =00, est égale à ; sa

dérivée

est d'abord positive, s'annule pour A = v/3, puis devient et reste négative;