CHAPITRE XXXI. — HYDROSTATIQUE

D'autre part, la force centrifuge rapportée à l'unité de masse a pour projections

L'équation d'équilibre est donc

Les surfaces de niveau ont pour équation

(27 j (oy-— P)x--+- (w2 — Q) JK- — R-s- = const.;

ce sont des ellipsoïdes homothétiques et concentriques. Pour que l'ellipsoïde donné soit une figure d'équilibre, il faut qu'il fasse partie de la famille (a'j), ce qui exige que l'on ait

ce sont des équations transcendantes déterminant les rapports de deux des axes au troisième. En leur adjoignant l'équation

7, -abco ^^ M,

qui exprime que la masse totale de l'elli])soïde a une valeur donnée M, on a trois équations pour calculer les axes de la figure d'équilibre a, b, c en fonction de M, p et to.

11 s'agit de discuter ces équations. Le cadre de cet Ouvrage ne nous permet pas d'entrer daus le détail de la discussion que l'on trouvera exposée dans le Traité de Mécanique céleste de Tisserand, t. TJ, p. 98. Nous nous bornerons à indiquer la marche et les principaux résultats de cette discussion.

Indications sur la discussion. — On tire, des deux équations (28), les suivantes :

«2^,2(p — Q) H- ra2— 62)c2R = O.

Dans ces deux équations, remplaçons P, Q, R par leurs valeurs, nous avons

w2 , r kdk

\ -jr- —- abc I , >

\ '^^JP Jo {a'--^l){b'-^l)^o{l)

i . . 7. r" r a-b- c2 "1 di

Le premier membre de la deuxième équation est un produit de deux facteurs.

En égalant à zéro le premier facteur a^ — 6^, on obtient les ellipsoïdes de révolution précédemment étudiés. Pour avoir les ellipsoïdes à trois axes inégaux, il faut égaler l'autre facteur à zéro.

Pour discuter les deux équations (29 ) ainsi obtenues, il est commode de faire

en posant X = c-x, où x est une nouvelle variable d'intégration. On a alors, en faisant

les deux équations

X dx

1 T.fo J^ (l-\~ SX){1— tx) \

dx r " a;^ dx

(3,.) ix-s-t) f ^-st f

devant déterminer s et ^ en fonction de tu et p. Une fois s et ^ connus, les

axes de l'ellipsoïde sont déterminés par la condition que la masse totale M

de l'ellipsoïde --.abcp a une valeur donnée .M. On a ainsi, en vertu des

relations (3o),

(33) ^7:c3p = Mv/J7, ^7:a3p^M^, |-63p = M^.

On voit immédiatement sur l'équation (32) que s -^ t < i, sans quoi les deux parties du premier membre seraient négatives et leur somme ne pourrait pas être nulle. Gomme s et ^ sont positifs, on a donc

.y < I et ^ < i, et, par suite,

l'axe autour duquel tourne l'ellipsoïde est donc le plus petit des axes.

Voici maintenant comment on détermine s el t par les équations (3i) et (32).

Tout d'abord, l'équation (3vi) établit une relation entre s el t : on démontre que, la valeur de t étant choisie arbitrairement entre o et i, cette équation donne toujours une valeur de s et une seule comprise entre ces limites. Quand t croît de o à i, cette valeur de s décroît de i à o : il existe donc un nombre z tel que, t étant pris égal à -z. s soit aussi égal

à T. Ce nombre est

T = o,33(jG.