CHAPITRE XXXI. — HYDROSTATIQUE. I7I

Passons maintenant à l'équation (3i) : si l'on pose

X dx

U = st f —

sx) (l — tx) \

cette quantité U peut être regardée comme fonction de la seule variable indépendante ^, la variable s étant liée à t par la relation (82).

Gomme 5 et ^ sont positifs, cette fonction est positive : elle est nulle pour t= o, et elle redevient nulle pour t := 1, car alors s = o.

Donc t variant de o à i, cette fonction U a au moins un maximum. On démontre que ce maximum est unique, qu il a lieu pour t = z et que sa valeur est Ui= 0,187. . .. D'après cela, pour qu'il existe des valeurs de t vérifiant l'équation (3i 1, il faut et il suffit que

L'équation (3i)est alors vérifiée par deux valeurs de t, l'une ^'<Ct, et l'autre /"> ~ : soient s' et s" les valeurs correspondantes de s. Les équations (3i) et (32) étant symétriques en s el t, ?>i s = s', t ^^ t' constitue une solution, 5 -= <', t — s' en constituera une autre : on a donc

et il n'y a en définitive qu'un ellipsoïde répondant à la question, car échanger s et t, c'est échanger les axes a et b. Dans le cas de

2Tt/p

l'ellipsoïde de Jacobi est de révolution.

En particulier, si w est nul, l'équation (3i) donne st = o, donc une des deux quantités s ou t est nulle et l'autre égale à 1. Si w est très petit, une de ces quantités, t par exemple, est très petite et l'autre s très voisine de I. Les formules (33), donnant les axes, montrent que c et a sont très petits et ont un rapport voisin de i, è très grand.

L'ellipsoïde à trois axes inégaux affecte alors la forme d'une aiguille très mince, très longue et à peu près ronde qui tourne autour d'un axe perpendiculaire à sa direction.

Troisième cas : Cylindre elliptique homogène et indéfini. — Une masse fluide homogène tournant avec la vitesse w autour de Oz peut encore être en équilibre relatif sous la forme d'un cylindre elliptique indéfini dont la surface a pour équation

Ce cas peuL être considéré comme limite de l'ellipsoïde à trois axes inégaux du numéro précédent, quand on fait croître c au delà de toute limite, ainsi que la masse totale M. En effet, l'équation de l'ellipsoïde se réduit à celle du cylindre pour c ^-^ ce. Les valeurs (26) de P et Q deviennent alors, en remarquant que

: tend vers i quand c augmente indéfiniment,

1 P = ..T.ahfo f f^ , = 47:/p

enfin R devient nul.

Les surfaces de niveau (ay) deviennent

(œ2 - P).z-2-i- (w2— Q)jK-= const.,

et, en écrivant que la surface du cylindre (^4) est une des surfaces de niveau, on a la condition unique

(36) «2(p w2) ^ ^2(Q to5).

déterminant le rapport des axes a et b.

Discussion . — Si l'un remplace P et Q par leurs valeurs (35 ), on a, en résolvant par rapport à w^ et supprimant le facteur a — b,

0)2 4ct6

cette équation du deuxième degré en - donne pour ce rapport deux valeurs réelles, inverses l'une de l'autre, à condition que

2 Tzfp -2

Ces deux racines donnent la même forme de cylindre, car le cylindre elliptique reste le même quand on permute a et b.

Remarque. — La condition (36) est identiquement satisfaite par a = 6, quel que soit w. Il semble donc que le cylindre circulaire indéfini soit une figure d'équilibre possible pour toutes les vitesses angulaires de rotation.

Mais il est facile de vérifier que, si to^ est supérieur à -îv-fp, la résultante de la force attractive et de la force centrifuge qui est, en un point