II. - THfJORilMES GflNERAUX

317. Variation du moment d'inertie d'un systeme par rapport a un axe se deplacant parallelement a lui-meme. — Getle variation est donnec par le tlit^oreme suivant :

Le moment d'inertie d'un systeme par rapport a un axe est egal au moment d'inertie par rapport a un axe parallele passant par le centre de gravite, augmente du produit de la masse to tale par le car re de la distance des deux axes.

So it AB un axe quelconque donne; prenons pour axe des z l'axe parallele Gz passant par le centre de gravity, et soient x = a, y — b les Equations de l'axe donne AB. Le moment d'inertie par rapport a cet axe est

Sm[(#-a)2+ ■ (7- &)'«};

ce qu'on peut ^crire

I m ( x- -+- jk2 ) -h ( a- -b 6'-)Sm — la'Lmx — i b S my ;

mais les sommes ?Lmx, ILmy sont nulles, puisque le centre de gravite se trouve sur l'axe des z; il reste alors, pour expression du moment d'inertie par rapport a AB,

S m(x* -h r2 ) -+- ( a1 rh &2 ) s m?

ce qui demontre la proposition; car Zm(x'2 -hy-) est le moment d'inertie par rapport a G : et («L> + ^2) le carre de la distance des deux axes.

Soient 1 le moment d'inertie par rapport a AB, IG le moment par rapport a l'axe parallele passant par G, d la distance de ces deux axes : on a I = I6+ M d2. Soit de meme Y le moment d'inertie par rapport a un axe parallele a la meme direction, mais situe a une distance d' du centre de gravite; on a Y = TG -4- M d'- : d'oii, en relrancliant,

formule qui permet de calculer [', connaissant 1 et la position du centre de gravite.

[1 resulte du theoreme I = que, de tous les axes

paralleles a une direction donn&e, celui pour lequel 1c moment d'inertie est mini mum passe par ie centre de gravite. Les axes de direction fixe par rapport auxquels ce moment a une valeur constante engendrent un cylindrc de revolution dont I'axe passe par le centre de gravity.

On d^montre de meme que :

Le moment d'inertie d'un systeme, par rapport a un plan, est egal au moment d'inertie par rapport a un j)lan pat allele mene par le centre de gravite, augmente da produit de la masse totale par le car re de la distance des deux plans ;

Le moment d'inertie d'un systeme, par rapport a un point O, est egal au moment d'inertie par rapport au centre de gravite G, augmente du produit de la masse totale par le carre

de la distance des deux points OG .

318. Variation du moment d'inertie par rapport a des axes passant par un meme point. Ellipsolde d'inertie (Poinsot). — Eludions maintenanl les variations du moment d'inertie pris par rapport aux divcrses droilcs issues d'un point O {fig- 1 8 t ) . Prenons

Fig. 1 8 1 .

ce point pour origine et soient a, j3, y les cosinus directeurs d'une droile O o. Le carre" de la distance mp d'un point .r, v, r a cetle droite a pour valeur Om'2 — Op'2, c'est-a-dire

r*- = a?2 ,-2 + ( ax i o y ^

ce qui peut s'ecrire

r*- kp ( x- -f- y- 4- z* ) (oc« -h [32 ■+- Y2 ) — ( a x ■+- p y 4- 7 % )-