CHAP1TRE XVII. — MOMENTS D'INERTIE

Si Ton fait le • hangement de variables

x = ax', y = by',

abc3

P dx dy' dz

la ii'>u\elle integrate triple, etant etendue au volume de la sphere x- -+- r'2 4- z'- — i = o,

repre*sente le moment d'inertie de cette sphere de rayon i par rapport a un plan diametral, et a pour valeur ~7:p; on a done

Zmz - = A ^p abcz ;

cette <{uantite peut s'ecrire enfin

M etant la masse ~ izpabc de l'ellipsoide.

On trouvera de meme que les moments d'inertie de l'ellipsoide sent par rapport au plan des xz,

fa

par rapport au plan des

et. par suite : par rapport aux axes Ox, Oy, Oz,

ODD

et, par rapporl au rentre,

']" Moment d'inertie} par rapport a son axe, (Tun solide homogene de revolution limite par les plans de deux paralleles. — Prenons d'abord le cas d'un cylindre de revolution de hauteur h et de rayon R. Comme dans le cas dc la sphere, en donnant un accroissement dl\ au rayon, le moment d'inertie du cylindre, par rapport a son axe, prend un accroissement

rffji = R2(27cRAprfR),

puisque Lous les points d<: la couehe cylindrique dont s'accroit le solide sont a la distance \\ de I'axe et que Paccroissemenl de masse est it. R/tp <l\\. En integrant l'egalite ci-dessus, nous aurons

ce qu'on peut ecrire

ix = kWH

le rayon de gyration est done R — ■

Soit, en general (Jig. 180), z = cp (a?) l'e'quation de la meridienne de la surface de revolution done l'axe est Oz. Decomposons le solide en cylindres

Fig. i 80.

elementaires par des plans perpendiculaires a laxe; le moment dinertie d'un de ces cylindres, de rayon r et de hauteur dz. sera, d'apres ce qui precede.

-3c r*'p dz,

et, si £0 et z\ sont les cotes des paralleles extremes, le moment dinertie du solide aura pour expression

r etant lie a z par relati<

ate,

on voit que, dans ce cas, le moment d inertie se calcule par une integrate simple.