CHAPITRE XVII. — MOMENTS D'lNERTIE
on, on developpant,
-+- y2 (x- -+- Y- ) — 2 $YYZ — 2 :x — 2 a (3 xjK,
d'ou resulte pour le moment d'inertie la valeur
X mra == a- H m(.r2 -+- s2) -(- [32 2 /«( z2 -+- ^2 )
■+■ -/2 £ m ( .r2 + y- ) — 2 (3 y 2 mjK^s — 2,i,aEmu' — ■ 2 a (3 2 m .r^.
En designant par A, B, G, D, E, F lcs sommes constantes qui entrent dans la formula ci-dessus, nous obtenons
( 1 ) S-w/-2 = Aal+ B (32 -4- G Y2 — 2 D [jy — 2 E — 2 F a(3.
Les constantes A, B, C sont les moments d'inertie par rapport aux axes de coordonn^es : D, E, F sont les produits d'inertie.
Pour interpreter geometriquement le resultat auquel nous venons d'arriver, portons de part et d'autre de O, sur chaque droite
O 0, une longueur OP, telle que -^j — \/lmr2, et cherchons le lieu
du point P(X, Y, Z). Nous avons tout d'abord
k= op' iJ=op' t = of avec or* =
en portant ces valeurs dans l'equation (1), il nous vient
(2) 1 = AX2 + BY2-{- CZ2 — 2DYZ — 2EZX — 2FXY,
equation d'une surface du second ordre. Cette surface, qui a l'origine pour centre, est necessairement un ellipsoide; le rayon vecteur OP e>t, en effet, toujours r^el et fini, puisqu'il a pour valeur
:t que le moment d'inertie est toujours positif. II n'y aurait
2, mr-
exceplion que pour le cas ou tous les points materiels du systeme seraient en ligne droite avec le point' O : dans ce cas, le moment d'inertie par rapport a cette droite serait nul, et l'ellipsoide se reduirait a un cylindre de revolution autour de cette droite.
L'ellipsoide dont l'equation vient d'etre etablie a recu le nom d1 'ellipsoide d'inertie relatif au point O; ses plans et ses axes de symelrie se nomment plans principaux et axes principaux d'inertie relatifs au point consider^. L'ellipsoide d'inertie relatif au centre de gravite est V ellijisoide central d'inertie. En general,
Id dynamique des systemes.
il u'v a done que trois axes principaux d'inertie relatifs a un point; si l'ellipsoide d'inertie relatif au point est de revolution, il y en a une infinite dnns le plan de Fequateur; s'il est une sphere, tout ;ixc passant par le point est principal pour ce point.
Une fois l'ellipsoide d'inertie relatif au point O trace, le
moment d'inertie par rapport a un axe ( ) B est -^7i , P designant le
point on 0 6 price l'ellipsoide. De tons les axes menes par 0, celui qui donne le plus petit moment d'inertie est done le ^rand axe de l'ellipsoide.
319. Conditions pour que l'axe 0 z soit principal pour le point O .
— Cherchons les conditions pour que Tun des axes de coordonnees
Fig. il
Oz soit axe principal d'inertie par rapport au point O. 11 faut pour cela que I'equation de l'ellipsoide d'inertie relatif au point O
ne contienne pas de termes du premier degre" en z , e'est-a-dire qu'on ait
ou bien
(3) 2 myz = o, ^Lmxz=o.
L'axe des z etant axe principal d'inertie pour le point O ne le sera pas, en general, pour un autre point O' de sa direction, situc a une cote 00'= h. Pour exprimer que O z est aussi un axe principal en O' on devrait, d'apres ce qui precede, joindre aux equations (3) les conditions nouvelles
(4) 2 /.njK( z — h) = o, Smar(2- A)s= o,
