CHAPITRE XX. — MOUVEMENT D'UN SOLIDE

II peuL arriver que la plus graude racine u2 soit egale a i : le petit cercle superieur se reduit alors au point le plus haut de la sphere : ce cas se presente en parliculier quand, a I'inslant initial, l'axe Oz se confond avec la verticale ascendante.

390. Cas particulier. — Considerons une toupie mobile autour d'un point fixe de son axe O; prenons rextremite z de l'axe de la toupie enlre les doigts de telle facon qu'il fassc avec la verticale un angle 0o different de o et de t:; puis imprimons a la toupie avec un (il enroule par exemple, une vitesse angulaire de rotation tres grande r0 autour Oz. Tant qu'on ticnt 1'extremite z de l'axe entre les doigts, la toupie forme un corps solidc mobile autour d'un axe principal Oz; la vitesse angulaire r0 persiste; les pressions sur le point O et sur les doigts sont les memes que si la toupie ne lournait pas (n"360, cas particulier). Qu'arrive-t-il quand on lache l'extremite La toupie devient alors mobile autour du point O et le mouvement se fait conformement aux lois precedentes. Actuellement, la toupie tourne d'abord autour de Oz ; done les valours initiates p0 et q0 de p et q sont nulles

Nous avons pos6 cos 0 = u; les equations du n° 395

-i- q- — y. — au, sin 6 ( p sin cp -4- q cos cp) = (3 — br0 u

montrent alors qu'a l'instant initial on a

y. — flw0 = o, [j — b/'oiio = o,

u0 etant egal a cosG0. Remplagons les constanles a et (3 par ces valeurs ; nous avons

C&) = (ito— u)[a(i — u0-) — birl(iin— u)]. •

Pour que (^-jj^J reste positif, u doit osciller entre la valeur u0

el une valeur u{ comprise entre — 1 et -l- 1 qui annule la quantite entre crochets et nous donne par consequent

ft ( I — 11 ] ) — b- p\ ( Uq — II 1 ) = 0.

d'ou

(in — U\ est ainsi positif el la seconde Iimite est infer ieure a la premiere; e'est done la pins grande racine, appelen u, dans le cas general, qui est egale a u„. Le cercle Iimite Gd rclatif a la racine u{ sera done au-dessous du cercle G>> qui correspond a la racine u,t. Le lieu decrit par z sur la sphere sera d'ailleurs tangent au premier et normal au second, d'apres ce que nous avons vu tout a I'heure, puisque u0 annule l'expression (3 — br0u (fig* 2.'>2, II).

[/expression de — devient, dans ce cas pari iculier,

f/'b br0( u0 — u)

dt ~ i -- u-

~ garde done un signe constant, celui de r0; il en resulte que la

rotation du plan 0~ aulour de O so fait toujours dans le memc sens; ce sens etant d'ailleurs toujours le meme que celui de la rotation initiale autour de on de OG, puisque nous avons pris OG comme sens positif de l'axe de revolution.

Supposons plus specialement que la rotation initiale r0 soit tres grande : l'egalite

mo litre que u0 difFerera peu de iii ; le cone lieu de Oz sera done compris entre deux cones de revolution tres voisins. D'ailleurs, le mouvement de rotation du plan z^Oz se fera tres lentement; nous

avons, en effet,

<l'\ br0( «o— u) t dt ~ ~i — tr* '

comme u0 — u reste iiiferieur a uti — u*. e'est-a-dire a — ^-^j

b- rg

on a, en valeur absolue,

dty

a(i — ill)

rll

(>r0(i — if1)

le facteur- %■ restant tres voisin de l'unite, car u reste voisin

de Ui, d~ reste tres petit, de I'ordre de Ainsi done, si Ton fait

lourner tres rapidement le corps autour de O:, puis qu'on l'abandonne a lui-meme, il semblera conlinuera tourner autour de eel